منظور شما اینه که چطوری میشه از روی آتاماتایی که زبان L رو می پذیره‌، آتاماتایی ساخت که $third(L)$ رو بپذیره؟

اره
حالا یا اثبات ساختاری که همان ساخت اتاماتا میباشد یا اثبات به کمک سایر عملگرها که بتونیم نشان بدیم زبان منظم نسبت به این عملگر بسته است .
هر دو اثباتش مد نظرمه چون تا الان هیچی به ذهنم نرسیده .

میتونید یک زبان ساده رو مثال بزنید و براش dfa بکشین و third رو روش پیاده کنید. و بعد به کل زبانهای منظم بسطش بدینو نتیجه بگیرین که زبان حاصله منظمه.
thirdیک زبان در واقع مکانهای مضرب ۳ از رشته های آن زبانو استخراج میکنه.
یه راه حل میتونه به این شکل باشه که در dfa مورد نظر هر state رو به ۳ state تبدیل کنیم. که نشاندهنده مکان حرف ورودی است که باقیماندش ۰ و ۱ و ۲ باشه، بعد یالهایی که باقیماندشون ۱ یا ۲ هست‌، لاندا میذاریم. و فقط یالهایی موجودیت پیدا میکنند که جایگاه مضرب ۳ رو دارن(باقیمانده ۰)