عدد ۴۴ چطوری بدست اومده؟

(۰۳ فروردین ۱۳۹۵ ۰۱:۴۶ ق.ظ)IranianWizard نوشته شده توسط:  سلام.جواب مورد نظر،همان تعداد زیرمجموعه های ۷ عضوی مجموعه $\{1,2,3,...,50\}$ هستش که اختلاف هر یک از اعضای زیر مجموعه حداقل ۲ باشد.
حل:
تعداد زیرمجموعه های ۷ عضوی:
$1\le a_1\: <\: a_2\: <\: a_3\: <\: a_4\: <\: a_5\: <\: a_6\: <a_7\: \le50$

تعداد زیرمجموعه های ۷ عضوی با اختلاف حداقل ۲:
$1\le a_1<a_2-1\: <\: a_3-2\: <\: a_4-3\: <\: a_5-4\: <\: a_6\: -\: 5\: <a_7-6\: \le44$
که برابر $\binom{44}{7}\:$ میشه.
امیدوارم سوالتون همین بوده باشه.

(۰۳ فروردین ۱۳۹۵ ۰۲:۱۵ ب.ظ)peace2013 نوشته شده توسط:  عدد ۴۴ چطوری بدست اومده؟

خب واسه اینکه اعضای زیر مجموعه،اختلافشون حداقلش ۲ بشه،باید بصورت زیر باشند:
$1\le\: a_1\: <\: a_2-1\: <\: a_3-2\: <\: a_4-3\: <\: a_5-4\: <\: a_6-5<a_7-6\le50-6=44$

خیلی لطف کردید،مرسی

سلام. درنظر بگیرید xi به ازای i بین ۱ تا ۷ همون ۷ عدد ما هستن که انتخاب میکنیم. قراره که هیچکدوم پشت سر هم نباشن. متغیرهای y رو به این شکل تعریف میکنیم:

$y_1=x_1-1$
$y_i=x_i-x_{i-1};(2\leq i\leq 7)$
$y_8=50-x_7$

مقادیر y1 و y8 بزرگترمساوی ۰ و بقیه مقادیر بزرگتر مساوی ۲ هستن. خواهیم داشت:

$\sum_{i=1}^8y_i=50-1=49$

هر مقداردهی صحیح به این ۸ متغیر هم ارز با یک مقداردهی صحیح و یکتا از ۷ عدد انتخاب شده است و بالعکس. حالا تعداد جوابهای این معادله رو محاسبه میکنیم. برای این کار کافیه متغیرهای z رو درنظر بگیریم که مقادیر صحیح و نامنفی میگیرن:

$z_1=y_1$
$z_i=y_i-2;(2\leq i\leq 7)$
$z_8=y_8$

حالا معادله رو بازنویسی میکنیم:

$\sum_{i=1}^8z_i=49-2*6=37$

جواب مساله برابر خواهد بود با $\binom{37 7}{7}$.