بی تدبیر نیست که میگن زکات علم نشر اونه چون زمانی که چیزی رو برای دیگران توضیح میدی بیشتر یاد میگیریش.

سوالاتی از این قبیل که تعداد صفر های سمت راست فلان عدد چند تاست گاها در کنکور دیده میشه.

۱) تعداد صفر های سمت راست [tex]A= 20^{20}*21^{21}*22^{22}*23^{23}*24^{24}*25^{25}[/tex] چند تاست ؟

خوب میدونیم که تعداد صفرهای سمت راست رو تعداد ۲ ها و تعداد ۵ ها در تجزیه عدد به عوامل اول مشخص میکنه. که هر کدوم توان کمتری داشت همون میشه تعداد صفر های سمت راست . اینجا اگه A رو به عوامل اول تجزیه کنیم میبینیم که داریم :
[tex]A = 2^{137}*5^{70}*....[/tex]

که مشخص میشه تعداد صفر های سمت راست A برابر ۷۰ تاست.

۲) تعداد صفر های سمت راست عدد ۱۱۷! چند تاست ؟
نکته ای که اینجا وجود داره اینه که بدونیم هنگامی که ۱ عدد فاکتوریل رو تجزیه میکنیم مطمئن هستیم تعداد عامل های ۵ اون کمتره که اینم واضحه چون مثلا در ۵! داریم ۱*۲*۳*۴*۵ که هر ۱ کی درمیون حداقل ۱ عامل ۲ ایجاد میکنه ولی هر ۵ تا درمیون حداقل ۱ عامل ۵ درست میکنه. واسه همین کافیه تنها تعداد ۵ ها در تجزیه به عوامل اول رو بدونیم . و برای این کار کافیه ببینیم در ۱۱۷ چند تا ۵ چند تا ۲۵ چند تا ۱۲۵ و .... هست . (چرا)
میدونیم هر ۵ تا در میون ۱ دونه عامل ۵ اضافه میشه اما وقتی به ۲۵ میرسیم خودش دو عامل ۵ تولید میکنه. واسه همین فرمول بالارو داریم.
پس جواب این مساله میشه :
[tex]\left \lfloor \frac{117}{5} \right \rfloor \left \lfloor \frac{117}{25} \right \rfloor \left \lfloor \frac{117}{125} \right \rfloor .... = 23 4 = 27[/tex]

۳) تعداد صفر های سمت راست عدد [tex]5^{85}*17![/tex] چند تاست ؟
اینجا حدسمون اینکه که چون توان ۵ خیلی زیاده احتمالاً تعداد ۲ های ۱۷! باید کمتر باشه خوب پس تعداد عامل های ۲ در ۱۷! رو حساب میکنیم . مثل مثال قبلی میایم تعداد ۲ ها ، تعداد ۴ ها ، تعداد ۸ ها ، تعداد ۱۶ ها ، تعداد ۳۲ ها ، ... رو در ۱۷ حساب میکنیم.
۸ تا ۲ داریم . ۴ تا ۴ و ۲ دونه ۸ و ۱ دونه ۱۶ که جمعا میشه ۱۵ پس حدسمون درسته تعداد ۲ ها در تجزیه کمتر از تعداد ۵ ها شد و لذا تعیین کننده تعداد صفر هاست که میگیم ۱۵ صفر داریم.

۴) در سمت راست عدد [tex]\frac{600!}{60!} \frac{400!}{40!}[/tex] چند تا صفر داریم ؟
۲ تا چیزو میدونیم زمانی که دو عدد بر هم تقسیم میشن میدونیم صفر هاشون از هم کم میشن مثلا اگر ۱۰۰۰ رو تقسیم بر ۱۰ کنیم میشه ۱۰۰ که از ۳ صفر صورت ۱ دونه صفر مخرج کم میشه . هنگامی که دو عدد با صفر های سمت راست که تعداد صفر هاشون هم با هم مساوی نیست رو با هم جمع میکنیم جواب دارای تعدادی صفر خواهد بود که این تعداد همون مینیمم صفرهای دو عدد اولیه.

خودتون حلش کنید دیگه . فقط جواب نهایی رو میگم که ۹۰ تاست.

۵) تعداد صفرهای [tex]73! 74![/tex] چند تاست ؟
هر کدوم به تنهایی ۱۶ صفر داره اگه . اینجا نکته دیگه ای هست . وقتی دو عدد با تعداد صفر های مساوی در سمت راستشون با هم جمع میشن ممکنه صفر دیگه ای ایجاد کنن. مثل جمع ۵۰ +۵۰ = ۱۰۰ که هر دو ۱ صفر دارند ولی حاصل ۲ صفر داره . ممکنه هم صفر جدیدی ایجاد نشه مثل ۵۰+۴۰ = ۹۰ .
برای حل این مسأله از ۷۳! فاکتور میگیریم .
[tex]73! 74!= 73!(1 74)= 73!*75 = 5^{16}* .... *5^{2}*3 = 5^{18}*....[/tex]
که لذا نتیجه میشه حاصل ۱۸ صفر داره .

۶) سوال اخر : تعداد صفر های عدد ۵۰! در مبنای ۷ کدام است ؟
حل کنید ببینم