(۱۲ خرداد ۱۳۹۴ ۰۷:۰۳ ب.ظ)soheil08 نوشته شده توسط:  سلام
می‌خواستم بدونم روش کلی جواب دادن به این تیپ سوالات چطوریه
شمارش تعداد توابع قابل تعریف روی این برد و دامنه به طوری که شرط برقرار باشه

{f:{1,2,3,}---->{1,2,3
f(1)+f(3)]%2=0]

ممنون

به طور کلی اگه بخواهیم تعداد توابع از مجموعه ای n عضو A (دامنه) به مجموعه m عضو B (هم-دامنه) را بشماریم (بدون محدودیت)، چون هر کدام از n عضو دامنه m انتخاب دارند پس [tex]m^n[/tex] تابع مختلف خواهیم داشت.
اما اگر روی صورت مسئله محدودیت بگذارند، اینکه به طور کلی چطور باید پاسخ داد کاملاً بستگی به شروط گذاشته شده دارد (که یک راهش چندجمله ای های رخی هست). واضح است که باید تعداد توابعی رو بشماریم که شروط مسئله رو ارضا می کنند، یعنی باید شروط رو باز کنیم و ببنیم چند حالات خواهیم داشت (در یکی دو تستی هم که از مبحث در کنکور آمده هست نیز باید همین کار را کرد). مثلاً در مثالی گه گفتید روی f(2) شرط نداریم پس f(2) سه حالت را خواهد داشت ولی طبق شرط مجموع f(1) و f(3) باید عددی زوج باشد که پنج حالت خواهد بود:
یک) f(1)=f(3)=2
دو) f(1)=f(3)=1
سه) f(1)=f(3)=3
چهار) f(1)=1 و f(3)=3
پنج) f(1)=3 و f(3)=1
بنابراین در کل ۵*۳=۱۵ تابع خواهیم داشت که شرط مسئله را ارضا خواهند کرد.

---

دقت کنید که مسئله با این فرض حل کردم که مجموعه {۱,۲,۳} (مجموعه B)، هم-دامنه (co-domain) تابع است. اگر گفته بود باید حتماً این مجموعه برد (range) تابع باشد، پاسخ متفاوت بود.
حتماً می دونید برد تابع زیر مجموعه ای از هم-دامنه تابع است. هم-دامنه یک تابع مجموعه ای است که اعضای آن می توانند تصویر (image) اعضای دامنه باشند، ولی لزومی ندارد همه اعضای هم-دامنه تابع پوشش داده شوند (اگر پوشش داده شوند به آن تابع، تابع پوشا می گوییم). همچنین به مجموعه اعضای هم-دامنه که تصویر حداقل یک از اعضای دامنه باشند، برد تابع می گویند. فکر کنم شکل زیر این موضوع رو بهتر مشخص کنه:


حالا اگه مسئله گفته باشه {۱,۲,۳} (مجموعه B) حتماً باید برد تابع باشه (در واقع صورت مسئله تعداد توابع پوشا روی هم-دامنه {۱,۲,۳} است)، پس هر یک اعضای آن حتماً باید تصویر حداقل یکی از اعضای دامنه باشند (استثناً در اینجا چون تعداد اعضای دامنه و برد برابر است پس تابع باید یک به یک نیز باشد)، که در این مثال سه حالت مختلف داریم:
الف) f(2)=1 باشد، که در این صورت f(1) و f(3) باید از مقادیر {۲,۳} اختیار کنند که شرط مسئله را ارضا نمی کند.
ب) f(2)=2 باشد، که در این صورت f(1) و f(3) باید از مقادیر {۱,۳} اختیار کنند که دو حالت خواهیم داشت.
پ) f(2)=3 باشد، که در این صورت f(1) و f(3) باید از مقادیر {۱,۲} اختیار کنند که شرط مسئله را ارضا نمی کند.
بنابراین دو تابع وجود خواهد داشت که شرط مسئله را ارضا کنند و مجموعه B حتماً برد باشد.