سلام. این سوال مشابه سوال کنکور سال ۹۱ بوده.
فرض کنید an تعداد رشته های صحیح بطول n باشه که به ارقام ۰ تا ۳ ختم میشن. اگه رقم سمت راست ۰ یا ۳ باشه پشت سرش یه دنباله بطول n-1 میتونه بیاد که این زیررشته هارو نداره. (یعنی همون جمله n-1ام دنباله) ولی اگه رقم سمت راست قراره ۱ باشه باید قبل از ۱ یک رقم ۰ یا ۳ داشته باشیم. قبل از اون ۰ و ۳ هم میتونه یه دنباله صحیح بطول n-2 بیاد. اگه رقم سمت راست ۲ باشه علاوه بر حالتی که برای رقم یکان ۱ داشتیم، میتونیم یه تعداد ۲ داشته باشیم و بعدش ۰ یا ۳ داشته باشیم. این رابطه با P نشون داده شده. اون ۱ آخر هم برای اینه که میشه تمام ارقام از ۲ تشکیل بشن. رابطه بصورت زیر نوشته میشه:


ساده شدش میشه: (با محاسبه تفاضل ۲ جمله پشت سر هم میشه به این عبارت رسید.)

(۲۲ مهر ۱۳۹۳ ۱۲:۰۶ ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:  سلام. این سوال مشابه سوال کنکور سال ۹۱ بوده.
...

روش درست همینه، فقط ۲ تا اشتباه تایپی داره و $a_n=2a_{n-1} 5a_{n-2}$ نمیتونه درست باشه(با $a_3=45$ تست کنید).
اشتباهات تایپی این پاسخ هم یکی مربوط میشه به $p_n$ که در سیگما i باید از ۰ شروع بشه تا بتونه برای مثال $2a_0$ رو برای $a_3$ تولید کنه:
و دومی مربوط میشه به تفاضل ۲ جمله پشت سر هم که میشه :

(۰۸ آبان ۱۳۹۳ ۰۶:۲۳ ب.ظ)y.s نوشته شده توسط:  

(22 مهر ۱۳۹۳ ۱۲:۰۶ ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:  سلام. این سوال مشابه سوال کنکور سال ۹۱ بوده.
...

روش درست همینه، فقط ۲ تا اشتباه تایپی داره و $a_n=2a_{n-1} 5a_{n-2}$ نمیتونه درست باشه(با $a_3=45$ تست کنید).
اشتباهات تایپی این پاسخ هم یکی مربوط میشه به $p_n$ که در سیگما i باید از ۰ شروع بشه تا بتونه برای مثال $2a_0$ رو برای $a_3$ تولید کنه:

$p_n=\sum_{i=0}^{n-1}2a_i$

و دومی مربوط میشه به تفاضل ۲ جمله پشت سر هم که میشه :

$a_n=3a_{n-1} 2a_{n-2}-2a_{n-3}$

سلام. متشکر. مقدار تفاضل رو درست کردم. در محاسبه اختلاف pها ضریب ۲ رو لحاظ نکرده بودم. ولی اشکالی که در p بود رو متوجه نمیشم. دنباله p باری تعداد ۲ های پشت سر همه. این تکرار ۲ مشکلی نداره ولی بعدش نباید ۱ بیاد. عدد ۱ در جمله اول هم برای اینه که این رقم میتونه تا رقم یکان تکرار بشه و لزومی نداره بعدش حتماً ۰ و ۳ بیاد.

(۰۹ آبان ۱۳۹۳ ۰۳:۴۱ ب.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:  

(08 آبان ۱۳۹۳ ۰۶:۲۳ ب.ظ)y.s نوشته شده توسط:  

(22 مهر ۱۳۹۳ ۱۲:۰۶ ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:  سلام. این سوال مشابه سوال کنکور سال ۹۱ بوده.
...

روش درست همینه، فقط ۲ تا اشتباه تایپی داره و $a_n=2a_{n-1} 5a_{n-2}$ نمیتونه درست باشه(با $a_3=45$ تست کنید).
اشتباهات تایپی این پاسخ هم یکی مربوط میشه به $p_n$ که در سیگما i باید از ۰ شروع بشه تا بتونه برای مثال $2a_0$ رو برای $a_3$ تولید کنه:

$p_n=\sum_{i=0}^{n-1}2a_i$

و دومی مربوط میشه به تفاضل ۲ جمله پشت سر هم که میشه :

$a_n=3a_{n-1} 2a_{n-2}-2a_{n-3}$

سلام. متشکر. مقدار تفاضل رو درست کردم. در محاسبه اختلاف pها ضریب ۲ رو لحاظ نکرده بودم. ولی اشکالی که در p بود رو متوجه نمیشم. دنباله p باری تعداد ۲ های پشت سر همه. این تکرار ۲ مشکلی نداره ولی بعدش نباید ۱ بیاد. عدد ۱ در جمله اول هم برای اینه که این رقم میتونه تا رقم یکان تکرار بشه و لزومی نداره بعدش حتماً ۰ و ۳ بیاد.

سلام
هر رشته به طول n یک حالت داره که همه ۲ باشن که لحاظ شده، ۲ حالت هم داره که n-1 رقم سمت راست ۲ باشه و n امین رقم ۰ یا ۳ باشه که $p_n$ نمیتونه این ۲ حالت رو تولید کنه، یا باید به جای اضافه کردن یک واحد ۳ واحد به رابطه اضافه کنیم و یا چون $a_0=1$ باید مقدار $2a_0$ رو به رابطه اضافه کنیم، برای مثال در $a_3$ داریم:
برای حالتی که رقم سمت راست ۰ یا ۳ باشد داریم : $2a_2$
برای حالتی که رقم سمت راست ۱ باشد داریم : $2a_1$
برای حالتی که رقم سمت راست ۲ باشد و رقم دوم ۰ یا ۳ باشد داریم : $2a_1$
برای حالتی که دو رقم سمت راست ۲ باشند و رقم سوم(آخر) ۰ یا ۳ باشد ۲ حالت داریم یا : $2a_0$
و در آخر برای حالتی که همه ۲ هستند ۱ حالت داریم و در مجموع:
اگر با رابطه ای که شما نوشتید جلو بریم برای $a_3$ خواهیم داشت:
$p_1=0$ خواهد بود و خواهیم داشت:
ولی اگه در $p_n$ ، سیگما از i=0 شروع بشه $p_1=2a_0$ خواهد شد و برای تمام n ها هم اون ۲ حالتی که n-1 رقم ۲ هست و رقم آخر ۰ یا ۳ هست رو لحاظ میکنه

(۰۹ آبان ۱۳۹۳ ۰۸:۴۶ ب.ظ)y.s نوشته شده توسط:  اگر با رابطه ای که شما نوشتید جلو بریم برای $a_3$ خواهیم داشت:

$a_3=2a_2 4a_1 p_1 1$

$p_1=0$ خواهد بود و خواهیم داشت:

$a_3=2a_2 4a_1 1$

$a_3=43$

ولی اگه در $p_n$ ، سیگما از i=0 شروع بشه $p_1=2a_0$ خواهد شد و برای تمام n ها هم اون ۲ حالتی که n-1 رقم ۲ هست و رقم آخر ۰ یا ۳ هست رو لحاظ میکنه

بله درسته. متوجه شدم. چون مقدار P از عبارت حذف شده بود دقت نکردم.

$a_3=3a_2 2a_1-2a_0=3*13 2*4-2*1=39 8-2=45$

دوستان خیلی ممنون.کاملا متوجه شدم.

سلام.
اگر an تعداد رشته های n رقمی باشه که از ۰ و ۱ و ۲ و ۳ تشکیل شده و شامل دنباله های ۱۲ و ۲۱ و ۱۱ نباشد. میشه گفت این رشته ها سه دسته اند. رشته هایی که با ۱ ختم میشوند و رشته هایی که با ۲ ختم میشوند و رشته هایی که با ۳ و ۴ ختم میشوند.
تعداد رشته هایی که با ۱ ختم میشوند ۲-۲an هست چرا که رقم قبلی یک باید ۱ یا ۲ نباشه یعنی یا ۰ باشه یا ۳/و ۲-n رقم قبلی هم بطور بازگشتی همین شرایط رو خواهد داشت که به تعداد an-2 حالت خواهد بود.یعنی تعداد رشته های ۲ - nرقمی که شامل ۰ ۱ ۲ ۳ باشه و اون دنباله ها رو نداشته باشه.

بهمین ترتیب تعداد رشته هایی که به ۲ ختم میشوند ۲-۳anتاس. رقم قبلی دو باید یا ۰ یا ۲ یا ۳ باشه.یعنی سه حالت ممکن برای رقم دهگان موجوده. و برای ۲-n رقم قبلی هم که باز ۲-an تا.

و اگه به رقم ۳ یا ۰ ختم بشه هم که ۱-۲an حالت. چرا که رقم یکان دو حالت داره و محدودیتی برای رقم قبلیشان وجود نداره و ۱-n رقم قبلی هم که همین شرایط رو خواهد داشت و به تعداد ۱-an

پس کلن رابطه بازگشتی میشه:
an=5an-2 + 2an-1
تو عکس هم واضحتر نشون دادم. امیدوارم توضیحاتم کامل باشه

$A(n)=2A(n-1) 5A(n-2)\: ;\: A(1)=4,A(2)=13$
عنصر آخر اگر ۰ یا ۳ باشد جواب را برای n-1 عنصر دیگر به صورت بازگشتی می یابیم و اگر عنصر آخر ۱ باشد عنصر قبلی آن باید ۳ یا ۰ باشد و اگر عنصر آحر ۲ باشد عنصر قیلی می تواند ۲ یا ۳ یا ۰ باشد که مجموعا ۵ بار n-2 را بازگشنی حل می کنیم