حد تابع زیر
[tex]\lim_{z\longrightarrow0}\frac{z^2}{z\: bar}[/tex]کلا چجوری باید حد بدست بیاریم برای توابع مختلط؟
سلام
اگه یادتون باشه برای حد گرفتن در توابع حقیقی در دو مسیر (حد چپ و راست) به سمت [tex]x_0[/tex] حرکت میکردیم و بررسی میکردیم که در هر دو مسیر [tex]f(x)[/tex] هم باید به یک عدد نزدیک شود در توابع مختلط می گوییم تابع [tex]f(z)[/tex] دارای حد [tex]L[/tex] است هر گاه به ازای هر [tex]z\ne z_0[/tex] در دایره [tex]0<|z-z_0|<\delta[/tex] رابطه ی [tex]|f(z)-L_{ }|<\epsilon[/tex] برقرار باشد ([tex]\epsilon\: و\delta[/tex] مثبت و حقیقی اند) در واقع باید اثباتمونو در تمامی مسیر ها در دایره بررسی کنیم ولی نکات ارزشمندی برای حد توابع مختلط وجود داره که کار محاسبه حد رو راحت کرده ازجمله اینکه
اگر عبارت شامل [tex]z^{bar}[/tex] باشه برای یافتن حد در [tex]z_0[/tex] عبارت [tex]z_0+re^{i\theta}[/tex] رو جایگزین می کنیم و بعد برحسب [tex]r\longrightarrow0[/tex] حد میگیرم که اگر حاصل برحسب [tex]\theta[/tex] شد حد وجود ندارد ولی اگر عدد ثابت شد همان حاصل حد است پس دازیم[tex]\lim_{z\longrightarrow0}(\frac{z^2}{z^{bar}})=\lim_{r\longrightarrow0}(\frac{r^2e^{2i\theta}}{re^{-i\theta}})=\lim_{r\longrightarrow0}re^{3i\theta}=0[/tex] پس جواب حد ۰ است
برای مثال اگر در صورت توان ۲ نداشته باشیم داریم
[tex]\lim_{z\longrightarrow0}(\frac{z}{z^{bar}})=\lim_{r\longrightarrow0}(\frac{re^{i\theta}}{re^{-i\theta}})=e^{2i\theta}[/tex] که وابسته به [tex]\theta[/tex] است و حد وجود ندارد یعنی با حرکت در تمامی مسیر های دایره با مرکز ۰ تابع مختلط f به سمت عدد منحصر به فردی حرکت نمی کند البته استفاده از نکات برای محاسبه حد کمی خطرناک است و نیاز به در نظر گرفتن حالت های زیادی است و درصد اشتباه بالا است
بهتر مثال های بیشتر درباره حد توابع مختلط و همچنین نکات موجود برای یافتن حد رو هم با جزئیات بیشتر بررسی کنید.