تساوی های زیر چگونه نتیجه می شود؟
۱- [tex]n^{\frac{1}{\log n}}=2[/tex]
۲- [tex]\sqrt{2}^{\log n}=\sqrt{n}[/tex]
۳- [tex]n^{\log\log n}=(\log n)^{\log n}[/tex]
سلام.
من سه رو حل میکنم دو تای دیگه هم شبیه همونه : (با استفاده از خواص لگاریتم)
ابتدا خاصیت زیر را از لگاریتم در نظر بگیرید :
[tex]a^{\log_ax}=x[/tex]
با توجه به خاصیت بالا داریم :
[tex]n^{\log\log n}=2^{\log_2\: (n^{\log\log n})}=2^{\log\log nlogn}[/tex]
در نتیجه ی بدست آمده میتوان باز هم از قانون پیش گفته استفاده کرد
داریم :
[tex]2^{\log\log nlogn}=2^{\log\log n^{\log n}}=(\log n)^{\log n}[/tex]
------
بعضی جاها هم اگر پایه ی لگاریتم را نوشته ام به خاطر این است که استفاده از نکته را دقیقا درک کنید
برای مورد دوم داریم:
[tex]\sqrt{2}^{\log n}=2^{\frac{\log n}{2}}=\sqrt{2^{\log n}}=\sqrt{n}[/tex]
(۲۲ آذر ۱۳۹۵ ۱۱:۱۲ ق.ظ)shamim1395 نوشته شده توسط: تساوی های زیر چگونه نتیجه می شود؟
۱- [tex]n^{\frac{1}{\log n}}=2[/tex]
۲- [tex]\sqrt{2}^{\log n}=\sqrt{n}[/tex]
۳- [tex]n^{\log\log n}=(\log n)^{\log n}[/tex]
برای ۱، از آنجا که می‌دانیم [tex]\frac{\log_xa}{\log_xb}=\log_ba[/tex]، میتوان نوشت [tex]n^{\frac{1}{\log n}}=n^{\frac{\log2}{\log n}}=n^{\log_n2}=2^{\log_nn}=2[/tex]
(۲۲ آذر ۱۳۹۵ ۱۱:۳۵ ق.ظ)samanbeigmiri نوشته شده توسط: سلام.
من سه رو حل میکنم دو تای دیگه هم شبیه همونه : (با استفاده از خواص لگاریتم)
ابتدا خاصیت زیر را از لگاریتم در نظر بگیرید :
[tex]a^{\log_ax}=x[/tex]
با توجه به خاصیت بالا داریم :
[tex]n^{\log\log n}=2^{\log_2\: (n^{\log\log n})}=2^{\log\log nlogn}[/tex]
در نتیجه ی بدست آمده میتوان باز هم از قانون پیش گفته استفاده کرد
داریم :
[tex]2^{\log\log nlogn}=2^{\log\log n^{\log n}}=(\log n)^{\log n}[/tex]
------
بعضی جاها هم اگر پایه ی لگاریتم را نوشته ام به خاطر این است که استفاده از نکته را دقیقا درک کنید
ببخشید من قسمت آخر رو متوجه نمی شم اینجا داریم
[tex]2^{\log\log n^{\log n}}[/tex]
بعد عدد ۲ و logn که در توان هست با هم جاشون عوض می شه؟ یعنی این می شه؟
[tex]\log n^{\log\log n^2}[/tex]
می شه این قسمت رو بیشتر توضیح بدین؟
(۲۴ آذر ۱۳۹۵ ۰۳:۳۴ ق.ظ)Behnam نوشته شده توسط:تشکر خیلی ممنون(22 آذر ۱۳۹۵ ۱۱:۱۲ ق.ظ)shamim1395 نوشته شده توسط: تساوی های زیر چگونه نتیجه می شود؟
۱- [tex]n^{\frac{1}{\log n}}=2[/tex]
۲- [tex]\sqrt{2}^{\log n}=\sqrt{n}[/tex]
۳- [tex]n^{\log\log n}=(\log n)^{\log n}[/tex]
برای ۱، از آنجا که می‌دانیم [tex]\frac{\log_xa}{\log_xb}=\log_ba[/tex]، میتوان نوشت [tex]n^{\frac{1}{\log n}}=n^{\frac{\log2}{\log n}}=n^{\log_n2}=2^{\log_nn}=2[/tex]
(۲۲ آذر ۱۳۹۵ ۱۱:۱۲ ق.ظ)shamim1395 نوشته شده توسط: تساوی های زیر چگونه نتیجه می شود؟
۱- [tex]n^{\frac{1}{\log n}}=2[/tex]
۲- [tex]\sqrt{2}^{\log n}=\sqrt{n}[/tex]
۳- [tex]n^{\log\log n}=(\log n)^{\log n}[/tex]
سوال سوم رو چون متوجه نشدید، یه بار دیگه منم حل میکنم. سوال ۲ رو هم حل میکنم.
میدونیم که [tex]a^{\log_cb}=b^{\log_ca}[/tex] یعنی مستقل از اینکه پایه‌ی لگاریتم چی باشه، a و b جاشون رو می‌تونند عوض کنند (که در پایین اثبات میکنم بعداً). پس با این خاصیت میتوان گفت:
[tex]\sqrt{2}^{\log_2n}=n^{\log_2\sqrt{2}}=n^{\log_22^{\frac{1}{2\: }}}=n^{\frac{1}{2}}=\sqrt{n}[/tex]
براس سوال سوم:
[tex]n^{\log(\log n)}=\log n^{\log(n)}[/tex]
دقت شود که جای پایه‌ی کسر، یعنی n، و عدد مقابل لگاریتم در توان، یعنی [tex]\log(n)[/tex] تغییر کرده است.
اثبات اینکه [tex]a^{\log_cb}=b^{\log_ca}[/tex]
از دو طرف لگاریتم در مبنای a میگیریم. میدونیم که [tex]\log_aa^u=u[/tex]
پس [tex]\log_aa^{\log_cb}=\log_cb[/tex]
سمت راست هم میشه [tex]\log_ab^{\log_ca}=\log_ca\times\log_ab[/tex] چون میدونیم که اگه عدد جلوی لگاریتم دارای توان باشه، اون توان رو میشه به صورت ضرب پشت لگاریتم در آورد.
ضمنا [tex]\log_ca=\frac{1}{\log_ac}[/tex]، پس [tex]\log_ca\times\log_ab=\frac{\log_ab}{\log_ac}=\log_cb[/tex]
یعنی دو سمت لگاریتم با هم برابر شدند.
خوشا به حالتان چقدر خوب همه چیز را درست و پایه می دونید و چقدر خوب توضیح می دین
فکر کنم ما با این تفاسیر سر جلسه کنکور....[/code]