سلام دوستان یک سوال داشتم:
یک عدد در مبنای ۲ در چه صورت به ۳ بخش پذیره؟
بیت‌های زوج رو با هم جمع کنید. بیت‌های فرد رو هم با هم جمع کنید. جمع بیت‌های فرد رو از مجموع بیت‌های زوج کم کنید، باقی مانده میشه این. پس اگر این باقی‌مانده به ۳ بخش‌پذیر باشه (یعنی ۰ باشه یا ۳ و ...)، عدد اولیه هم بخش‌پذیر هست.
مثلاً برای ۱۰۱۱۱، حاصل بیت‌های زوج میشه ۳، حاصل بیت‌های فرد هم میشه ۱، از هم کم کنیم میمونه ۲، پس باقی مانده هم ۲ هست. منتهی ۱۱۰۱۱ (برابر با ۲۷) به ۳ بخش‌پذیر هست چون مجموع بیت‌های زوج رو از فرد کم کنیم میمونه ۰ که به ۳ بخش‌پذیر هست. منظور از بیت‌های زوج، بیت ۰ و ۲ و ۴ و ... هست.
به راحتی هم قابل اثبات هست. کافی هست عدد رو به صورت [tex]a_0\times2^0+a_1\times2^1+...+a_{n-1}\times2^{n-1}[/tex] بنویسید که ضرایب [tex]a_0[/tex] و ... همان بیت‌های اعداد هستند و این نکته هم لحاظ شود که باقی‌مانده‌ی [tex]2^k[/tex] بر ۳، برابر است با (باقی‌مانده‌ی ۲ بر ۳) به توان k، یعنی [tex](-1)^k[/tex]. در این صورت به ازای بیت‌های زوج یعنی شماره‌ی ۰ و ۲ و .. اون [tex](-1)^k[/tex] میشه ۱، به ازای بیت‌های فرد هم میشه [tex]-1[/tex]، در نهایت به صورت [tex]a_0-a_1+a_2-...[/tex] میاد، انگاری که زوج‌ها رو جمع کردیم و مجموع فردها رو کم کردیم.
این رو جواب دادم چرا نشون نمیده!
[attachment=20413]