سلام. خسته نباشید. من قسمت ب سوالی رو که براتون پیوست کردم رو نمیتونم حل کنم. ممنون میشم راهنماییم کنید.
(۲۰ اردیبهشت ۱۳۹۵ ۰۱:۲۲ ق.ظ)sarafraz69 نوشته شده توسط: سلام. خسته نباشید. من قسمت ب سوالی رو که براتون پیوست کردم رو نمیتونم حل کنم. ممنون میشم راهنماییم کنید.
این سؤال فراتر از آمار دوران کارشناسی هست.
مقدمه: برای یک مدل آماری وقتی دسترسی به کل جامعه‌ی آماری نداریم، از براورد بر مبنای "نمونه" استفاده میکنیم که غالباً به صورت پیدا کردن پارامتر [tex]\bar{\theta}[/tex] به امید اینکه تخمین به حد کافی نزدیکی به [tex]\theta[/tex] باشد هست. اریب براورد [tex]\theta[/tex] میشه ارزش منتظره (یا امید ریاضی) تفاوت این دو مقدار، یعنی [tex]E[\bar{\theta} - \theta][/tex].
منظور از "واریانس نمونه"، واریانسی هست که بر روی نمونه‌ی آماری که داریم گرفته میشه (چون به کل جامعه دسترسی نداریم یا هزینه‌بر هست). به صورت تیپیکال، واریانس نمونه به صورت زیر هست (S نشانگر Sample یعنی نمونه) :
[tex]S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2[/tex]
ولی مشکلی که داره اینه که اریب هست و تخمین دقیقی نمیده: با توجه به اینکه در واریانس اصلی از میانگین جمعیت [tex]\mu[/tex] به جای میانگین نمونه [tex]\bar{X}[/tex] میکنیم:
[tex]E[S^2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n((X_i-\mu)-(\bar{X}-\mu))^2]=E[\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-2(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu) (\bar{X}-\mu)^2)][/tex]
اگر در عبارت وسط سیگما، یعنی [tex](X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)[/tex] از [tex](\bar{X}-\mu)[/tex] فاکتور بگیریم، حاصل جمع [tex](X_i-\mu)[/tex] به ازای i از ۱ تا n می‌شود [tex]\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)=\sum_{i=1}^nx_i-n\cdot\mu=n\cdot\mu-n\cdot u=0[/tex]
در نتیجه:
[tex]E[S^2]=E[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2-(\bar{X}-\mu )^2]=E[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )^2]-E[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\bar{X}-\mu )^2]=\sigma ^2-E[(\bar{X}-\mu )^2][/tex]
یعنی تخمین در نظر گرفته شده دارای اریب هست چرا که با [tex]\sigma^2[/tex] برابر نیست (در واقع تنها وقتی برابر است که میانگین نمونه، با میانگین جامعه به طور اتفاقی یکسان بوده باشد.
برای اینکه تخمین رو نااریب کنیم، مقدار اریب، یعنی تفاوت واریانس جامعه‌ی واقعی از واریانس نمونه رو محاسبه میکنیم:
[tex]E[\sigma^2-S^2]=E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2]=\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n\{(X_i^2-2X_i\cdot\mu \mu^2)-(X_i^2-2X_i\cdot \bar{X} \bar{X}^2)\}]=\frac{1}{n}(E[\sum_{i=1}^n\mu^2]-E[\sum_{i=1}^n2\mu\cdot X_i] E[\sum_{i=1}^n(\bar{X}\cdot2X_i-\bar{X}^2)])=E[\mu^2-2\mu \bar{X} \bar{X}^2]=E[(\bar{X}-\mu)^2][/tex]
عبارتی که در آخر بدست آمد همان تعریف [tex]Var(\bar{X})[/tex] که عبارتست از:
[tex]Var(\bar{X})=Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i)=\frac{1}{n^2}Var(\sum_{i=1}^nX_i)= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^nVar(X_i)=\frac{\sigma^2}{n\: }[/tex]
توجه شود که اگر اعداد به ثابتی ضرب شوند، واریانس در توان دوی آن ثابت ضرب می‌شود. همچنین مجموع واریانس متغیرهای ناهمبسته برابر است با واریانس مجموع آن متغیرها.
پس به طور خلاصه:
[tex]E[\sigma^2-S^2]=\frac{\sigma^2}{\: n} \Longrightarrow E[S^2]=\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}=\frac{n-1}{n}\sigma^2[/tex]
فلذا اگر [tex]E[S^2][/tex] را در [tex]\frac{n}{n-1}[/tex] ضرب کنیم به صورت نااریب در می‌آید:
[tex]\frac{n}{n-1}\times E[S^2]=\frac{n}{n-1}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2[/tex]