دوستان سلام
یه مسئله در مورد حل ریشه ی مختلط یه جا دیدم که یه جاییش رو جوری حل کرده ، که گیج شدم. اگه میشه کمکم کنید.
سوال گفته که این معادله رو حل کنین.
z^3+1=0
معلومه که ریشه سوم این معادله رو می خواد. مسئله a و b را بدست آورده. که خوُب a=-1 و b=0 میشه. و بعد اونها رو در فرمول arctan=b/a ، قرار داده تا تتا را به دست بیاره. و تتا رو در فرمول e^i(2kπ+θ)/n قرار داده. اما سوال من اینه؟ دوستان مگه تتا در اینجا صفر نمیشه؟ ولی مسئله اون رو π گذاشته!! مگه a=-1 و b=0 نمیشه؟ حالا با توجه به فرمول arctan جواب قاعدتاً باید ۰ بشه نه π.
خواهش میکنم اگه میشه منو راهنمایی کنین. آیا من دارم اشتباه می کنم و مسئله رو درست نفهمیدم یا مسئله ی مذکور؟
با تشکر
پاسخ:
[tex]Z^3 1=0[/tex]
[tex]Z^3=-1,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: -1=e^{i\pi}\: \: ,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \theta=\pi[/tex]
[tex]Z^3=-1,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Z=\mid-1\mid^{\frac{1}{3}}.Cis\frac{2k\pi \theta}{3}\: \: =\: Cis\frac{2k\pi \theta}{3}\: =\: \cos\frac{2k\pi \theta}{3} i\sin\frac{2k\pi \theta}{3},\: \: \: \: \: \: k=0,1,2[/tex]
[tex]k=0\: \: \: \: \: \: ,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Z_1=\cos\frac{\pi}{3} i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]k=1\: \: \: \: \: \: ,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Z_2=\cos\pi i\: \sin\pi=-1[/tex]
[tex]k=2\: \: \: \: \: \: ,\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Z_3=\cos\frac{5\pi}{3} i\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]