مطلوب است محاسبه تابع چگالی احتمال z=x+y که در آن x و y دو متغیر تصادفی مستقل می باشند.
نمونه مشابه و توضیحات در فایل پیوست موجود می باشد.
روند کار به صورت زیر می باشد :
ابتدا تابع تجمعی احتمال مربوط به Z را بدست می آوریم :
[tex]F_Z(a)=P(Z<a)=P(X Y<a)[/tex]
حال باید [tex]f_{X,Y}[/tex] را داشته باشیم یا اینکه اگر نداریم، می توانیم با ضرب [tex]f_X[/tex] و [tex]f_Y[/tex] (به شرط مستقل بودن دو متغیر تصادفی X و Y) آن را بدست آوریم.
با داشتن [tex]f_{X,Y}[/tex] می توان به راحتی [tex]P(X Y<a)[/tex] را بدست آورد.
برای این کار ابتدا صفحه [tex]X Y<a[/tex] را در دستگاه مختصات مشخص می کنیم و در آن، از [tex]f_{X,Y}[/tex] انتگرال می گیریم و خواهیم داشت :
[tex]\: F_Z(a)=P(X Y<a)=\int_{x=-\infty}^{x=a}\int_{y=-\infty}^{y=a-x}f_{X,Y}(x,y)dydx[/tex]
در انتها کافی است از [tex]F_Z(a)[/tex] مشتق گرفته شود تا [tex]f_Z(a)[/tex] را بدست آوریم.