مطلوب است محاسبه تابع توزیع تجمعی و چگالی احتمال متغیر تصادفی y اگر
[tex]fX(x)=ke^{-2x}U(x)[/tex]
و
[tex]y=g(x)=|x|[/tex]
دقت کنید که ابتدا باید به نحوی پارامتر K را محاسبه نمایید برای این کار از قانون جمع احتمال استفاده نمایید
(جمع احتمال ها برابر یک می شود)
توضیحات و راهنمایی ها و اصل سوال در فایل پیوست شده موجود می باشد.
ابتدا مقدار k را بدست می آوریم :
[tex]\int_{-\infty}^{ \infty}f_X(x)=\int_{-\infty}^{ \infty}ke^{-2x}U(x)dx=1[/tex]
[tex] => \int_0^{ \infty}ke^{-2x}dx=1[/tex]
[tex] => k(\frac{1}{-2})(e^{-2\times\infty}-e^{-2\times0})=1[/tex]
[tex] => \frac{k}{2}=1[/tex]
[tex] => k=2[/tex]
[tex] => \int_0^{ \infty}ke^{-2x}dx=1[/tex]
[tex] => k(\frac{1}{-2})(e^{-2\times\infty}-e^{-2\times0})=1[/tex]
[tex] => \frac{k}{2}=1[/tex]
[tex] => k=2[/tex]
حال تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی Y را به این صورت محاسبه می کنیم (البته می تونیم به جای k ها عدد ۲ را قرار دهیم) :
[tex]F_Y(t)ّ=P(Y<t)=P(|X|<t)=P(-t<X<t)=\int_{-t}^tke^{-2x}U(x)dx[/tex]
در نتیجه داریم :
[tex]F_Y(t)=\int_{-t}^tke^{-2x}U(x)dx=\int_0^tke^{-2x}dx=\frac{k}{-2}(e^{-2(t)}-e^{-2(0)})=\frac{k}{2}(1-e^{-2t})[/tex]
اکنون کافی است از این تابع توزیع تجمعی بدست آمده مشتق گیریم تا تابع چگالی بدست بی آید :
[tex]F_Y(t)=\frac{k}{2}(1-e^{-2t}) => f_Y(t)=\frac{k}{2}(2e^{-2t}) => f_Y(t)=ke^{-2t}[/tex]