سلام
لطفا این سوال سخت رو جواب بدین
ثواب داره
[tex]\sum_{i=1}^{n}\left ( i \left ( i 1 \right ) ... n\right )=\sum_{i=1}^{n}\left [( n-i 1\right )/2](i n)[/tex]
عذرمیخوام . تصحیح شد!!
مچکرم
سلام.
صورت سؤال رو اشتباه نوشتین، تصحیح کنین لطفاً :-)
(۳۰ شهریور ۱۳۹۲ ۰۹:۲۴ ب.ظ)zeinab نوشته شده توسط: سلام
لطفا این سوال سخت رو جواب بدین
ثواب داره
[tex]\sum_{i=1}^{n}=\left ( i \left ( i 1 \right ) ... n\right )=\sum_{i=1}^{n}\left [( n-i 1\right )/2](i n)[/tex]
مچکرم
احتمالا منظورتون اینه :
[tex]\sum_{j=i}^{n}j=i (i 1) (i 2) ... n=-\frac{1}{2}(i-n-1)(i n)[/tex]
با فرض این که آقای vojoudi برداشتشون درست باشه، داریم:
[tex]\sum_{j=i}^{n}j=\sum_{j=0}^{n-i}(j i)=\sum_{j=0}^{n-i}i \sum_{j=0}^{n-i}j=i\times(n-i 1) \sum_{j=0}^{n-i}j[/tex]
در بالا در گام اول تنها کاری که کردیم این بود که دامنه‌ی سیگما رو ازش i تا کم کردیم (و در نتیجه به بدنه‌ی سیگما i تا اضافه شد).
در گام سوم هم i چون در کل دامنه‌ی سیگما ثابت است می‌توان آن را در اندازه‌ی دامنه ضرب کرده و آن را از سیگما خارج کرد.
در ادامه داریم:
[tex]i\times(n-i 1) \sum_{j=0}^{n-i}j=i\times(n-i 1) \frac{(n-i)(n-i 1)}{2}[/tex]
حالا با فاکتورگیری داریم:
[tex]i\times(n-i 1) \frac{(n-i)(n-i 1)}{2}=(n-i 1)(i \frac{1}{2}(n-i))=[/tex]
[tex](n-i 1)(\frac{1}{2}(n i))=[(n-i 1)/2](i n)[/tex]
(۳۰ شهریور ۱۳۹۲ ۰۹:۲۴ ب.ظ)zeinab نوشته شده توسط: سلام
لطفا این سوال سخت رو جواب بدین
ثواب داره
[tex]\sum_{i=1}^{n}=\left ( i \left ( i 1 \right ) ... n\right )=\sum_{i=1}^{n}\left [( n-i 1\right )/2](i n)[/tex]
مچکرم
شما توی یه خط بنویس [tex]i (i 1) \dots (n - 1) n[/tex] و بالای همون هم بنویس [tex]n (n-1) \dots (i 1) i[/tex] بعد این دوتا خط رو با هم جمع کن دیاریم: [tex](n i) (n i) \dots (n i)[/tex] که تعداد اینا میشه [tex]n - i 1[/tex] و حالا ما [tex](n-i 1)[/tex] تا [tex]n i[/tex] داریم از طرفی ما هر جمله رو دوبار حساب کردیم که در مجموع میشه:[tex]\frac{(n i)(n-i 1)}{2}[/tex]
مرسی SnowBlind عزیز.
بچه ها راه حل دیگه ای نداره!
یعنی برای جمع [tex]\left ( i \left ( i 1 \right ) ... n\right )[/tex]
راه دیگه ای نیست؟!!
(۳۱ شهریور ۱۳۹۲ ۰۸:۳۹ ق.ظ)zeinab نوشته شده توسط: مرسی SnowBlind عزیز.
بچه ها راه حل دیگه ای نداره!
یعنی برای جمع [tex]\left ( i \left ( i 1 \right ) ... n\right )[/tex]
راه دیگه ای نیست؟!!
[tex]1 2 3 4 5=15 \Leftrightarrow \frac{(5-1 1)*(5 1)}{2}=15 \break\break 2 3 4 5=14 \Leftrightarrow \frac{(5-2 1)*(5 2)}{2}=14 \break\break i (i 1) .. n \Leftrightarrow \frac{(n-i 1)*(n i)}{2}[/tex]
سلام. مقدار i رو از رابطه حذف کنید.
[tex]\sum_{i=1}^n(i (i 1) (i 2) ...n)=n\times \frac{n(n 1)}{2}-\sum_{i=0}^{n-1}(1 2 ... i)=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{i^2}{2} \frac{i}{2})=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n(n-1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{i^2}{2} \frac{i}{2})=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n(n-1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}[/tex]
رابطه سمت چپ رو هم بهتره بشکنیم:
[tex]\sum_{i=1}^n(i n)\frac{n-i 1}{2}=\sum_{i=1}^nn\frac{n-i 1}{2} \sum_{i=1}^ni\frac{n-i 1}{2}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n^2(n 1)}{4} \frac{n(n 1)^2}{4}-\frac{n(n 1)(2n 1)}{12}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2} \frac{n(n 1)}{4}-\frac{n(n 1)(2n 1)}{12}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2} \frac{n(n 1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}-\frac{n(n 1)}{6}-\frac{n(2n-1)}{6}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n(n-1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n^2(n 1)}{4} \frac{n(n 1)^2}{4}-\frac{n(n 1)(2n 1)}{12}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2} \frac{n(n 1)}{4}-\frac{n(n 1)(2n 1)}{12}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2} \frac{n(n 1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}-\frac{n(n 1)}{6}-\frac{n(2n-1)}{6}=[/tex]
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n(n-1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}[/tex]
میتونیم عبارت کلی رو ساده تر هم بکنیم:
[tex]n\times \frac{n(n 1)}{2}-\frac{n(n-1)}{4}-\frac{n(n-1)(2n-1)}{12}=[/tex]
[tex]\frac{n^2(n 1)}2}-\frac{(n-1)n(n 1)}{6}=\frac{n(n 1)(2n 1)}{6}[/tex]
[tex]\frac{n^2(n 1)}2}-\frac{(n-1)n(n 1)}{6}=\frac{n(n 1)(2n 1)}{6}[/tex]
موفق باشید.