برای دنباله زیر تابع مولد بنویسید
(۱,۰,۱,۰,۱,....)
[tex]p(x)=1 x^{2} x^{4} x^{6} ...=\frac{1}{1-x^{2}}[/tex]
برای اثباتش:
با استفاده از تجزیه کسر داریم:
[tex]\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{A B}{1-x^{2}}[/tex]
[tex]\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{A}{1 x} \frac{B}{1-x}[/tex]
در نتیجه:
[tex]A(1-x) B(1 x)=1[/tex]
با قرار دادن ریشه های مخرج به جای x مقدار A و B را بدست می آوریم:
[tex]A=\frac{1}{2} , B=\frac{1}{2}[/tex]
در این صورت نتیجه به صورت زیر می شود:
[tex]\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1 x} \frac{\frac{1}{2}}{1-x}[/tex]
می دانیم:
[tex]\frac{1}{1 x}=1-x x^{2}-x^{3} ...[/tex]
[tex]\frac{1}{1-x}=1 x x^{2} x^{3} ...[/tex]
پس:
[tex]\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}(1-x x^{2}-x^{3} ...) \frac{1}{2}(1 x x^{2} x^{3} ...)=1 x^{2} x^{4} x^{6} ...[/tex]