تالار گفتمان مانشت

تعداد جواب های صحیح نامعادله

می دانیم پاسخ معادله [tex]x_1 x_2 x_3=k[/tex] پاسخ مساله انتخاب k شی از ۳ شی با تکرار و همچنین پاسخ مساله قرار دادن k شی یکسان در سه ظرف متفاوت است. در نتیجه پاسخ مساله فوق [tex]\binom{3 k-1}{k}[/tex] است.


اما در صورت سوال مطرح شده داریم :
[tex]7\le x_1 x_2 x_3\le12[/tex]
که معادل است با ۶ معادله زیر :
[tex]x_1 x_2 x_3=7[/tex]
[tex]x_1 x_2 x_3=8[/tex]
[tex]x_1 x_2 x_3=9[/tex]
[tex]x_1 x_2 x_3=10[/tex]
[tex]x_1 x_2 x_3=11[/tex]
[tex]x_1 x_2 x_3=12[/tex]


جواب همه ۶ معادلات فوق را با هم جمع می کنیم و آنچه در زیر آمده است را خواهیم داشت :
[tex]\binom{3 7-1}{7} \binom{3 8-1}{8} \binom{3 9-1}{9} \binom{3 10-1}{10} \binom{3 11-1}{11} \binom{3 12-1}{12}[/tex]
که معادل است با :
[tex]\binom{9}{7} \binom{10}{8} \binom{11}{9} \binom{12}{10} \binom{13}{11} \binom{14}{12}[/tex]

به مقدار فوق یک [tex]\binom{9}{6}[/tex] اضافه و کم می کنیم و خواهیم داشت :
[tex]\binom{9}{6} \binom{9}{7} \binom{10}{8} \binom{11}{9} \binom{12}{10} \binom{13}{11} \binom{14}{12}-\binom{9}{6}[/tex]


طبق اتحاد پاسکال داریم :


[tex]\binom{n 1}{r}=\binom{n}{r} \binom{n}{r-1}[/tex]

بنابراین از سمت چپ مقدار محاسبه شده شروع به ساده سازی می کنیم و هر دو ترکیب سمت چپ را با معادل اتحاد پاسکال آن جایگزاری می کنیم. مثلا بجای [tex]\binom{9}{6} \binom{9}{7}[/tex] قرار می گیرد [tex]\binom{10}{7}[/tex] .

در نهایت خواهیم داشت :
[tex]\binom{15}{12}-\binom{9}{6}=371[/tex] پس گزینه سه صحیح است.

سپاس