تالار گفتمان مانشت

سلام
آیا برای تابع زیر روابط کوشی - ریمان در نقطه (۰,۰) برقرار است ؟

[tex]f(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{{Y^{3}} i{X^{3}}}{{X^{2}} {Y^{2}}} & & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & & (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.[/tex]

چرا باید از تعریف مشتق برای بررسی روابط کوشی - ریمان این تابع بهره بگیریم ؟

(01 آبان 1392 01:21 ب.ظ)reza6966 نوشته شده توسط: [ -> ]سلام
آیا برای تابع زیر روابط کوشی - ریمان در نقطه (۰,۰) برقرار است ؟

[tex]f(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{{Y^{3}} i{X^{3}}}{{X^{2}} {Y^{2}}} & & (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & & (x,y)=(0,0) \end{matrix}\right.[/tex]

چرا باید از تعریف مشتق برای بررسی روابط کوشی - ریمان این تابع بهره بگیریم ؟

سلام

تعریف اصلی از قضیه کوشی ریمان را یکبار دیگر مطالعه کنید
تا جایی که به ذهن دارم یک تعریف اصلی از این قضیه وجود بررسی مشتق در تابع مورد نظر هست و اگر مشتق تابع وجود داشت بقیه مراحل را انجام میشود

خب دوست عزیز ما قراره اثبات کنیم که مشتق دارد یا ندارد
ما از مشتق پذیر بودن این تابع اطمینان نداریم که بخوایم از روابط مشتق استفاده کنیم . بنابراین باید از تعریف مشتق استفاده کنیم و مشتق پذیر بودن یا نبودنش رو اثبات کنیم.

روابط کشی ریمان شرط لازم برای وجود مشتقپذیری است. شرط کافی نیست.

بنابراین شما میتوانید تابع را بصورت تفکیک شده بنویسید و شرایط کشی ریمان را چک کنید. یعنی f را بصورت:f=u+iv
در نظر بگیرید. داریم:

[tex]u=\left\{\begin{matrix} \frac{Y^{3}}{X^{2} Y^{2}} &if (x,y)\neq(0,0) \\ 0& if (x,y)= (0,0) \end{matrix}\right.[/tex]
و بهمین ترتیب v را میتونیم بنویسیم:
[tex]v=\left\{\begin{matrix} \frac{X^{3}}{X^{2} Y^{2}} &if (x,y)\neq(0,0) \\ 0& if (x,y)= (0,0) \end{matrix}\right.[/tex]
حالا تحقیق شرایط کشی ریمان بررسی مشتقات جزئی دو تابع حقیقی uو v است و قابل بررسی در هر نقطه ای میباشد.

اگر مشتقات جزئی در معادلات کشی ریمان صادق بود و مشتقات جزئلی پیوسته هم بودند در اونصورت میتونیم بگیم مشتق وجود دارد.

من تصور میکنم یا صورت سوالتون درست نیست یا مباحث را با هم مخلوط میکنید.
اگه میخواهید روابط کشی ریمان رادر مبدا بررسی کنید خب روابط کشی ریمان را بررسی کنید چیکار به مشتق دارید. مشتق یه چیز بزرگتر از کشی ریمان هست.
یعنی ممکنه روابط کشی ریمان در مبدا وجود داشته باشه ولی مشتق وجود نداشته باشه. پس برای بررسی روابط کشی ریمان در مبدا نمیریم سراغ چک کردن یه حوزه بزرگتر که اطلاعاتی ازش نداریم.

اما اگه میخواهید مشتق را در مبدا بررسی کنید اونوقت میتونید از روابط کشی ریمان یا از تعریف مشتق برید.

اگه مشتق در مبدا را ابخواهیم از تعریف مشتق بریم دیگه اصلا" کاری به روابط کشی ریمان نداریم. ضمنا" رابطه مشتق باید دو بعدی نوشته بشه اینی که شما مینویسید یک بعدی است.

[attachment=13891]
در این سوال : چظور تشخیص داده شد که در نقطه Z=0 مشتق ندارد ؟
قسمت برقراری روابط کوشی ریمان رو متوجه شدم و مشکلم با قسمت دوم سوال هست

(29 آبان 1392 03:49 ب.ظ)reza6966 نوشته شده توسط: [ -> ]در این سوال : چظور تشخیص داده شد که در نقطه Z=0 مشتق ندارد ؟
قسمت برقراری روابط کوشی ریمان رو متوجه شدم و مشکلم با قسمت دوم سوال هست

اگه بر اساس حلی که گذاشتید سوال میکنید دلیل اینکه مشتق وجود نداره اینه که حد آخر که نوشته جواب نداره.
وقتی یه عبارت حدی جواب داره که از هر راه و مسیری حد را بدست بیارید یکی بشه(ریاضی عمومی)
الآن از دو مسیر بدست آورده دو تا عدد متفاوت شده.
پس حد وجود نداره.
پس مشتقی در مبدا وجود نداره.