سلام دوستان من دنبال حل این دو تا مسئله هستم.
ممنون میشم کمکم کنید.
1- نشان دهید توابع Re (z) ، Im (z و قدر مطلق z در هیچ نقطه ای مشتق پذیر نیستند.
2- نشان دهید f(z) = |z| ^2 تنها در نقطه z = 0 + 0i مشتق پذیر است.
(27 مهر 1392 01:20 ب.ظ)ka1366 نوشته شده توسط: [ -> ]سلام دوستان من دنبال حل این دو تا مسئله هستم.
ممنون میشم کمکم کنید.
۱- نشان دهید توابع Re (z) ، Im (z و قدر مطلق z در هیچ نقطه ای مشتق پذیر نیستند.
۲- نشان دهید f(z) = |z| ^2 تنها در نقطه z = 0 + 0i مشتق پذیر است.
شرط اینکه یه تابع مشتق پذیر باشه اینه که مشتقات جزئی u و v پیوسته باشن و همچنین در شرایط کوشی ریمان صدق کنن، شما کافیه اینا رو چک کنین.
برای سوال اولتون علاوه بر چیزی که snowBlind گفتن ، از تعریف مستقیم مشتق هم میتونید استفاده کنید :
[tex]lim_{z \to z_0} \frac{f(z)- f(z_{0})}{z - z_{0}}[/tex]
و با استفاده از این خاصیت حد که " باید از همه ی جهات دارای حد باشه و با هم برابر باشن" وجود حد رو نقض کنید. اینجوری اثبات میشه که مشتق پذیر نیست.
برای سوال دوم هم باز از همین روش استفاده کنید و در نهایت میبینید که فقط زمانی که z=0 باشه این حد وجود داره .
اول اینکه در هر تاپیک یه سوال بپرسید. اما بعد:
لطفا" شرایط کشی ریمان را در هر دو فرم کارتزین و قطبی حفظ کنید.
هرگاه خواستید اثبات عدم وجود مشتق را بکنید کافیست بسادگی مشتق بگیرید و عدم امکان شرایط کشی ریمان را ببینید.
[tex]z=x iy, w=u iv ,w=Imz\Rightarrow w=y\Rightarrow u=0,v=y\Rightarrow u_{x}=0,v_{y}=1[/tex]
پس امکان تساوی صفر با یک وجود نداره پس مشتق نداره.
Rez هم خودتون حل کنید.
و سومیش:
[tex]z=re^{i\theta } , w=u iv ,w=\left |z \right |\Rightarrow w=r\Rightarrow u_{r}=1,v_{\theta }=0[/tex]
وباز امکان تساوی صفر و یک نیست.
اینکه تشخیص بدین کجا باید فرم قطبی و کجا کارتزین استفاده کنید به مهارت شما بستگی داره.
اما سوال دوم:
[tex]z=re^{i\theta }\Rightarrow f(z)=r^{2}\Rightarrow u=r^{2},v=0[/tex]
وجود مشتق علاوه بر اینکه شرایط کشی ریمان را لازم داره باین هم نیاز داره که مشتقات جزئی پیوسته باشند. حالا اگه uوv را نگاه کنید هر دو پیوسته هستند . پس فقط شرایط کشی ریمان باید برقرار باشه .
[tex]u_{r}=2r,v_{\theta }=0[/tex]
شرایط کشی ریمان قطبی میگه:
[tex]u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }[/tex]
و داریم:
[tex]u_{r}=2r,v_{r}=0,u_{\theta }=0,v_{\theta }=0\Rightarrow r=0[/tex]
و این یعنی اینکه فقط در مبدا برقراره و بنابراین فقط در مبدا مشتقپذیره.