سلام ، ممنون میشم ضرایب و به طور کامل این رابطه رو حل کنید .
[tex]G_h=G_{h-1}+G_{h-2}+1[/tex]
مقادیر مرزی : [tex]G_0=1\: \: \: \: \: \: \: G_1=2[/tex]
(۰۱ اسفند ۱۳۹۵ ۰۳:۵۲ ب.ظ)alireza01 نوشته شده توسط: سلام ، ممنون میشم ضرایب و به طور کامل این رابطه رو حل کنید .
[tex]G_h=G_{h-1}+G_{h-2}+1[/tex]
مقادیر مرزی : [tex]G_0=1\: \: \: \: \: \: \: G_1=2[/tex]
ابتدا معادله مشخصه رو می نویسیم [tex](x^2-\: x-1)(X-1)=0[/tex] که ریشه برابر با ۱ و [tex]\frac{(1+\sqrt{5})}{2}[/tex] و [tex]\frac{(1-\sqrt{5})}{2}[/tex] است
بعد چون سه مجهول داریم نیاز به سه معادله داریم با توجه به جمله های اول دوم و سوم که برابر با ۱ و ۲ و ۴ هستند
A+B+C=1
[tex]A+B\frac{(1+\sqrt{5})}{2}+C\frac{(1-\sqrt{5})}{2}=2[/tex]
[tex]A+B(\frac{(1+\sqrt{5})}{2})^2+C(\frac{(1-\sqrt{5})}{2})^2=4[/tex]
برای حل میتوان از روش گاوس استفاده کرد که کمی زمان بر است ولی اگر در معادله سوم توان دو ها ر وساده کنیم به ترتیب [tex]\frac{(3+\sqrt{5})}{2}[/tex] و [tex]\frac{(3-\sqrt{5})}{2}[/tex] بدست می اید بعد برای حذف ۲ در مخرج معادله دوم و سوم را در ۲ ضرب می کنیم حالا اگه به معادله سوم توجه شود معادله دوم رو تو خودش داره که از اون میشه B+C=2 رو بدست اورد و با جایگذاری در معادله اول A=-1 بدست می اید همین منفی یک رو در معادله دوم لحاظ وبا B+C=2 'گرفته تا B , C رو بدست بیارم
جواب نهایی برابر با
[tex]a_n=(\frac{(\sqrt{5}+2)}{\sqrt{5}})(\frac{(1+\sqrt{5})}{2})^n+(\frac{(\sqrt{5}-2)}{\sqrt{5}})(\frac{(1-\sqrt{5})}{2})^n-1[/tex]
امیدوارم تو محاسبات جایی اشتباه نکرده باشم واینکه اگه جواب نهایی ایراد داره از همین الان عذر خواهی میکنم