[tex]\int Z^3e^{\frac{1}{Z}}COS\frac{2}{Z\: }\: dz\: \: [/tex]
انتگرال این عبارت در صفر چقدر میشه بازه لنتگرال هم |z|
(۰۲ بهمن ۱۳۹۵ ۰۲:۲۳ ق.ظ)هانا تهرانی نوشته شده توسط: [tex]\int Z^3e^{\frac{1}{Z}}COS\frac{2}{Z\: }\: dz\: \: [/tex]
انتگرال این عبارت در صفر چقدر میشه بازه لنتگرال هم |z|
سلام.
پیش نیازها:
[tex]e^z\: =\: 1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\: ...[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{z}}\: =\: 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+\frac{1}{z^44!}+\: ...[/tex]
[tex]\cos z\: =\: 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-...[/tex]
[tex]\cos\frac{1}{z}\: =\: 1-\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^44!}-\frac{1}{z^66!}+\frac{1}{z^88!}-...[/tex]
[tex]\cos\frac{2}{z}\: =\: 1-\frac{2^2}{z^22!}+\frac{2^4}{z^44!}-\frac{2^6}{z^66!}+\frac{2^8}{z^88!}-...[/tex]
[tex]e^{\frac{1}{z}}\: =\: 1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+\frac{1}{z^44!}+\: ...[/tex]
[tex]\cos z\: =\: 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-...[/tex]
[tex]\cos\frac{1}{z}\: =\: 1-\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^44!}-\frac{1}{z^66!}+\frac{1}{z^88!}-...[/tex]
[tex]\cos\frac{2}{z}\: =\: 1-\frac{2^2}{z^22!}+\frac{2^4}{z^44!}-\frac{2^6}{z^66!}+\frac{2^8}{z^88!}-...[/tex]
چونکه [tex]z_0\: =0[/tex]، بایستی بسط لوران رو در [tex]z-z_0\: =0[/tex] یعنی [tex]z\: =0[/tex] حساب کنیم.یعنی نیازه که ضریب [tex]\frac{1}{z-z_0}=\frac{1}{z-0}=\frac{1}{z}[/tex] رو در بسط لوران عبارت [tex]z^3\: e^{\frac{1}{z}}\: \cos\frac{2}{z}[/tex] بدست بیاریم.
[tex]z^3\: e^{\frac{1}{z}}\: \cos\frac{2}{z}\: =\: z^3\: (1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^22!}+\frac{1}{z^33!}+\frac{1}{z^44!}+...)\: (1-\frac{2^2}{z^22!}+\frac{2^4}{z^44!}-\: \frac{2^6}{z^66!}+\: \frac{2^8}{z^88!}-\: ...)[/tex]
که ضریب [tex]\frac{1}{z}[/tex] میشه [tex]\frac{2^4}{4!}\: -\frac{\: 2^2}{2!2!}\: +\frac{\: 1}{4!}\: =\: -\frac{7}{24}[/tex]
*در نتیجه جواب نهایی برابر میشه با [tex]2\pi i\: (-\frac{7}{24})\: =\: -\frac{7}{12}\pi i\: =\frac{\: 7}{12i}\pi[/tex]