سری مختلط [tex]\sum_{n\rightarrow 0}^{\infty }\frac{a^{nz}}{n 1}[/tex]
[tex]0< a< 1[/tex]
مفروض است , ناحیه همگرایی کدام است ؟
یک سوال برای من وجود داره , ممنوم میشم راهنمایی کنید
[tex]\lim_{n\rightarrow \infty } \sqrt[n]{\left | \frac{a^{nz}}{n 1} \right|}<1 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty } \frac{\left |a^{z}\right |}{\sqrt[n]{\left |n 1\right |}}<1 \Rightarrow[/tex]
[tex]|a^{z}|<1 \Rightarrow |a^{x iy}|<1 \Rightarrow \left | a^{x} \right |<1[/tex]
سوال من اینه که چرا از [tex]\left | a^{iy} \right |[/tex] در نامساوی صرف نظر شد ؟
یعنی فرقی نمیکنه که پایه a باشه یا e ؟
اگر e بود سوالم برطرف میشد و اما حالا که پایه a است چطور ؟
سپاس
سوال دوم: [tex]\left | a^{iy} \right | = \left | cos(y) isin(y)\right | = \sqrt{cos(y)^{2} sin(y)^2}} = 1[/tex]
فرقی نمیکنه پایه a باشه یا e ؟
توجه داشته باشید:
[tex]a^{iy}\neq cos(iy) sin(iy))[/tex]
در واقع:
[tex]a^{iy}=e^{iyln(a))}=cos(ylna) isin(ylna))[/tex]
در نتیجه:
[tex]\left |a^{iy} \right |=\left | cos(ylna) isin(ylna) \right |=1[/tex]
اینهم نادرسته:
[tex]y = \left |a^{iz}\right | = \left |e^{iza} \right |= \left | e^{iz} \times e^{a}\right | = \left | e^{iz} \right | \times \left | e^{a} \righy |[/tex]
در ضرب دو عدد که پایه ها یکسان و نماها متفاوت هست یک پایه نوشته و نماها جمع میشوند.