تالار گفتمان مانشت
یک مسئله بازگشتی با تغییر متغیر - نسخه‌ی قابل چاپ

یک مسئله بازگشتی با تغییر متغیر - هاتف - ۰۱ مهر ۱۳۹۲ ۰۳:۰۳ ب.ظ

سلام
به رابطه بازگشتی زیر توجه کنید، توی جزوه یکی از استادها این رو از طریق تغییر متغیر حل کرده بود.
با تغییر متغیر اون رو به معادله ی ناهمگن با ضرایب ثابت تبدیل کرده، من روند حل رو تا یه جاهایی نوشتم ولی توی عبارت بعد از مساوی گیر کردم!
[تصویر:  CLRS.jpg]
بعد از این جواب نهایی که از حل بوسیله معادله مشخصه بدست اومده هم نوشتم، لطفا ادامه ی حل مسئله رو به من توضیح بدید.
تشکر.

RE: یک مسئله بازگشتی با تغییر متغیر - vojoudi - 01 مهر ۱۳۹۲ ۰۵:۵۳ ب.ظ

(۰۱ مهر ۱۳۹۲ ۰۳:۰۳ ب.ظ)هاتف نوشته شده توسط:  سلام
به رابطه بازگشتی زیر توجه کنید، توی جزوه یکی از استادها این رو از طریق تغییر متغیر حل کرده بود.
با تغییر متغیر اون رو به معادله ی ناهمگن با ضرایب ثابت تبدیل کرده، من روند حل رو تا یه جاهایی نوشتم ولی توی عبارت بعد از مساوی گیر کردم!
[تصویر:  CLRS.jpg]
بعد از این جواب نهایی که از حل بوسیله معادله مشخصه بدست اومده هم نوشتم، لطفا ادامه ی حل مسئله رو به من توضیح بدید.
تشکر.

سلام آقا هاتف
خوب ببین دو تا کار میشه کرد... اولی اینکه معادله مشخصه قسمت همگن و ناهمگن بدست بیاریم با هم ترکیب کنیم بریم جلو تا حل بشه. و بعد تغییر متغیر بدیم و بشه اون چیزی که شما نوشتی. دومین کار اینکه با جایگزینی حل کنیم و بعد تغییر متغیر بدیم. من اولی راهکار رو ساده تر میدونم ولی میخواهم سخته رو حل کنم واست. (یعنی جایگزینی)
داریم : [tex]G(k)=2G(k-1) \frac{2^k}{k}[/tex] از طرفی چون تغییر تابع این رو خودمون دادیم : [tex]g(k)=T(2^k)[/tex] در نتیجه :
[tex]n=2^k , T(1)=1 , T(2^k)=1 \Rightarrow k=0 \Rightarrow g(0)=1[/tex]
[tex]n=2^k , T(2)=2 , T(2^k)=1 \Rightarrow k=1 \Rightarrow g(1)=2[/tex]
تا اینجا که بدیهی است. خوب حالا بریم سراغ جایگزینی :
[tex]g(2)=2g(1) \frac{2^2}{2}=2[2] \frac{2^2}{2}=\frac{2^2}{1} \frac{2^2}{2}[/tex]
[tex]g(3)=2g(2) \frac{2^3}{3}=2[\frac{2^2}{1} \frac{2^2}{2}] \frac{2^3}{3}=\frac{2^3}{1} \frac{2^3}{2} \frac{2^3}{3}[/tex]
.
.
.
[tex]g(k)=\frac{2^k}{1} \frac{2^k}{2} \frac{2^k}{3} ... \frac{2^k}{k}=2^k( \frac{1}{1} \frac{1}{2} \frac{1}{3}... \frac{1}{k})=2^klog(k)[/tex]

خب حالا تغییر متغیر رو برگردونیم. بقیش آسونه.

RE: یک مسئله بازگشتی با تغییر متغیر - هاتف - ۰۲ مهر ۱۳۹۲ ۰۳:۳۷ ب.ظ

سلام
خیلی عالی ممنون، جز یه بخش کوچیک که پائین پرسیدم باقی رو کامل متوجه شدم.

(۰۱ مهر ۱۳۹۲ ۰۵:۵۳ ب.ظ)vojoudi نوشته شده توسط:  داریم : [tex]G(k)=2G(k-1) \frac{2^k}{k}[/tex] از طرفی چون تغییر تابع این رو خودمون دادیم : [tex]g(k)=T(2^k)[/tex] در نتیجه :
[tex]n=2^k , T(1)=1 , T(2^k)=1 \Rightarrow k=0 \Rightarrow g(0)=1[/tex]
[tex]n=2^k , T(2)=2 , T(2^k)=1 \Rightarrow k=1 \Rightarrow g(1)=2[/tex]
تا اینجا که بدیهی است..
فقط یه سوال، اینجا که فرمودید بدیهی هست Big Grin
شما چطور نوشتید [tex]T(1)=1 [/tex] یا [tex]T(2)=2 [/tex]
تابع به ما مقادیر اولیه رو که نداده بود!
بعد از این میخواستم ازتون خواهش کنم به روش اول هم حل اش کنید. ممنون.