سلام به همگی
سوال: ۴ پسر و ۳ دختر می خواهند در یک ردیف که شامل ۷ صندلی می باشد بنشینند به چند طریق پر شدن صندلی ها امکان دارد اگر هیچ یک از دختر ها کنار یکدیگر نباشند؟
قبول دارم که جواب این سوال برابر [tex]4!\times (5)_{3}= 4!\times \frac{5!}{2!}= 12\times5![/tex] می باشد ولی چرا جواب زیر درست نیست در این جواب تمام حالات را از تمام حالاتی که دخترها کنار هم می نشینند کم می کنیم.
[tex]7! - (3!\times 5!)= 36\times5![/tex]
سلام.
روش ساده ای که میتونیم برای حل این سوال استفاده کنیم بصورت زیر است:
اول ۴ پسر رو روی ۴ صندلی قرار میدیم بصورت زیر :
ــــMــــMــــMــــMــــ
خب برای دختر اولی ۵ جا برای نشستن وجود داره. برای دختر دومی ۴ جا. برای دختر سومی ۳ جا. پسرهارو هم میشه با ۴ فاکتوریل باهم جابجا کرد. که میشه [tex]4! * (5*4*3) = 24 * 60 = 1440[/tex] .
برای اینکه کل حالات رو از حالاتیکه دخترها کنار هم مینشینند کم کنیم باید به این صورت باشه که دخترها یا ۲تا ۲تا کنار هم دیگه باشند یا هر۳تا باهم و کنار هم. خب باید برای قسمت اول از ۳ دختر، ۲ دختر را انتخاب کرده و در صندلی های ازاد بنشانییم(که میتونند در هریک از جاهای خالی ــــMــــMــــMــــMــــ قرار بگیرند)، مثلا: FF دو دختر خاص هستند. حالاتی که پیش میاد یکی از اونا بصورت MMMFFMF یا مثلا همون دوتا دختر رو میشه بصورت MFFMFMM هم نشاند(خود اون ۲ تا هم میشه با ۲! جابجا بشوند). یا مثلا زمانی که ۳ تا دختر بخوان کنار هم باشند ۵ حالت مختلف پیش میاد (میتونند در هر یک از این جاهای خالی ــــMــــMــــMــــMــــ قرار بگیرند) و باز خودشون هم با ۳! بین خودشون جابجا بشوند.
(۲۸ تیر ۱۳۹۲ ۰۳:۱۱ ب.ظ)azad_ahmadi نوشته شده توسط: سلام.
روش ساده ای که میتونیم برای حل این سوال استفاده کنیم بصورت زیر است:
اول ۴ پسر رو روی ۴ صندلی قرار میدیم بصورت زیر :
ــــMــــMــــMــــMــــ
خب برای دختر اولی ۵ جا برای نشستن وجود داره. برای دختر دومی ۴ جا. برای دختر سومی ۳ جا. پسرهارو هم میشه با ۴ فاکتوریل باهم جابجا کرد. که میشه [tex]4! * (5*4*3) = 24 * 60 = 1440[/tex] .
برای اینکه کل حالات رو از حالاتیکه دخترها کنار هم مینشینند کم کنیم باید به این صورت باشه که دخترها یا ۲تا ۲تا کنار هم دیگه باشند یا هر۳تا باهم و کنار هم. خب باید برای قسمت اول از ۳ دختر، ۲ دختر را انتخاب کرده و در صندلی های ازاد بنشانییم(که میتونند در هریک از جاهای خالی ــــMــــMــــMــــMــــ قرار بگیرند)، مثلا: FF دو دختر خاص هستند. حالاتی که پیش میاد یکی از اونا بصورت MMMFFMF یا مثلا همون دوتا دختر رو میشه بصورت MFFMFMM هم نشاند(خود اون ۲ تا هم میشه با ۲! جابجا بشوند). یا مثلا زمانی که ۳ تا دختر بخوان کنار هم باشند ۵ حالت مختلف پیش میاد (میتونند در هر یک از این جاهای خالی ــــMــــMــــMــــMــــ قرار بگیرند) و باز خودشون هم با ۳! بین خودشون جابجا بشوند.
ممنون از جوابتون پس برای این که جواب مورد نظرم درست بشه باید کل حالات را از حالتهایی که تمام دخترها کنار هم باشند و حالت هایی که دو دختر کنار هم باشند کم بکنم تا جواب درست بشه یعنی
[tex]7!-(5!\times 3!)-(4!\times(\binom{3}{2}\times 2!)\times (\binom{5}{2}\times 2!))=12\times 5![/tex]
سلام
تعداد جایگشت های پسرها چون ۴ تا پسر داریم میشه !۴ و مابین این چهار تا پسر پنج فضای خالی هستش واسه سه تا
دختر تا بتونند جای بگیرند در این فضاهای خالی بدین صورت : _p1_p2_p3_p4_
اون Pها یعنی پسرها و اون خط های کوچولو هم تعداد فضای خالی رو نشون میدن که میشه یه ترکیب بدین صورت :
[tex]\binom{5}{3}[/tex]
جایگشت های دخترها چون ۳ تا دختر داریم میشه !۳
در نهایت جواب نهایی میشه :
[tex]4! * \binom{5}{3}*3! = 1440[/tex]
موفق باشید
یا علی