سوال:
هیات مدیره یک شرکت داروسازی ۱۰ عضو دارد. برای تصویب فهرست جدیدی از اعضای هیات رئیسه شرکت (که از بین هیات مدیره برگزیده می‌شوند) اجلاسی از سهام داران پیشبینی شده‌است، این هیات مرکب از یک رئیس، یک معاون یک منشی و یک خزانه‌دار می‌باشد.
ب) سه نفر از اعضای هیات مدیره پزشک هستند، به چند روش می‌توان هیات رئیسه‌ای با حداقل یک پزشک داشت؟
با راه‌حل «کل انتخاب‌ها - انتخاب‌هایی که هیچ پزشکی ندارند» به جواب رسیدم اما نتونستم با فرمول زیر به جواب برسم.
[tex]P(7,3)\times p(3,1) P(7,2)\times p(3,2) P(7,1)\times p(3,3)[/tex]
[tex]= \frac{7!}{4!}\times 3 \frac{7!}{5!}\times \frac{3!}{1!} \frac{7!}{6!}\times 1[/tex]
سوالم اینه، آیا این فرمول توی جایگشت (Permutation) اصلا درست جواب میده، چون ترتیب در جایگشت مهمه؟ یا فقط توی ترکیب (Combination) کار می‌کنه که ترتیب مهم نیست؟ یا من دارم چیزی رو اشتباه انجام می‌دم؟
سلام.
ببینید این مساله ترتیب رو نشون میده، یعنی از ۱۰ نفر ۴ نفر خاص رو بعنوان اون پست های رئیس، معاون،منشی و خزانه دار انتخاب کنیم. در صورت مساله گفته که ۳ نفر از این ۱۰ نفر پزشک هستند و شرط حل مساله رو گذاشته که هربار انتخاب، حداقل یک پزشک در جمع باشد. این حداقل به این معنی است که "یا یک پزشک" . " یا دو پزشک" . "یا سه پزشک".
همون فرمولی که خودتون استفاده کردین گویای همین موضوع هست،
بخش اول از ۳ پزشک، ۱ پزشک رو انتخاب کرده و برای انتخاب ۳ نفر دیگه از ۷ نفر باقی مانده استفاده میکند (بغیر از اون ۳ پزشک).
بخش دوم هم دقیقا به همین صورت است، یعنی از ۳ پزشک، ۲تا پزشک رو انتخاب می کنیم و برای ۲ نفر دیگه از ۷ نفر باقیمانده انتخاب ها رو انجام میدیم.
بخش آخر هم به همان صورت قبلی است و زمانی که بخوایم تمام پزشک ها رو انتخاب کنیم، و برای یک نفر اخر هم از ۷ نفر باقیمانده استفاده کنیم.
(۲۸ تیر ۱۳۹۲ ۰۱:۴۶ ق.ظ)azad_ahmadi نوشته شده توسط: سلام.
ببینید این مساله ترتیب رو نشون میده، یعنی از ۱۰ نفر ۴ نفر خاص رو بعنوان اون پست های رئیس، معاون،منشی و خزانه دار انتخاب کنیم. در صورت مساله گفته که ۳ نفر از این ۱۰ نفر پزشک هستند و شرط حل مساله رو گذاشته که هربار انتخاب، حداقل یک پزشک در جمع باشد. این حداقل به این معنی است که "یا یک پزشک" . " یا دو پزشک" . "یا سه پزشک".
همون فرمولی که خودتون استفاده کردین گویای همین موضوع هست،
بخش اول از ۳ پزشک، ۱ پزشک رو انتخاب کرده و برای انتخاب ۳ نفر دیگه از ۷ نفر باقی مانده استفاده میکند (بغیر از اون ۳ پزشک).
بخش دوم هم دقیقا به همین صورت است، یعنی از ۳ پزشک، ۲تا پزشک رو انتخاب می کنیم و برای ۲ نفر دیگه از ۷ نفر باقیمانده انتخاب ها رو انجام میدیم.
بخش آخر هم به همان صورت قبلی است و زمانی که بخوایم تمام پزشک ها رو انتخاب کنیم، و برای یک نفر اخر هم از ۷ نفر باقیمانده استفاده کنیم.
ممنون از پاسختون، من صورت مسئله رو کامل درک کردم، از راه «کل انتخاب‌ها - انتخاب‌هایی که هیچ پزشکی ندارند» به جواب ۴۲۰۰ می‌زسم (که البته جواب درست هست) جز فرمول بالا که به نظر درست میاد (!) اما حلش کنید تا ببینید!!!!!!!!!!!!
حتی گفتم چون پزشک‌ها می‌تونن در هر جایگاهی باشن هر کدوم رو در ۴ هم ضرب کردم، بازم جواب نداد، گفتم یکی از سه تا انتخاب کنیم بعد ۳ تا از ۹ تا (فرمول زیر) چون دوتا پزشک دیگه می‌تونن انتخاب بشن یا نه، بازم نشد
[tex]P(9,3)\times p(3,1)= 3 \times \frac{9!}{6!}= 1512[/tex]
من فکر می‌کنم چون توی مثال جایگاهها خاص و به عبارتی ترتیب مهمه این فرمول قابل استفاده نیست، یا برای استفادش باید راه خاصی وجود داشته باشه!
هدف از زدن این تاپیک پیدا کردن این جوابه
(۲۸ تیر ۱۳۹۲ ۱۰:۴۸ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: من صورت مسئله رو کامل درک کردم، از راه «کل انتخاب‌ها - انتخاب‌هایی که هیچ پزشکی ندارند» به جواب ۴۲۰۰ می‌زسم (که البته جواب درست هست)
میشه نحوه حل سوال ر با این روش بنویسید. ممنون.
سلام. اول باید بگم این سه حالت رو برای انتخاب ۴ نفر برای این ۴ سمت داریم. بعد باید در !۴ ضرب کنیم. چون با جابجایی سمت های این افراد جواب های متفاوت و قابل قبول داریم.
(۲۸ تیر ۱۳۹۲ ۰۱:۳۵ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: [tex]\binom{7}{3} \ast \binom{3}{1} \binom{7}{2} \ast \binom{3}{2} \binom{7}{1} \ast \binom{3}{3}[/tex]
[tex]= \frac{7!}{4!}\times 3 \frac{7!}{5!}\times \frac{3!}{1!} \frac{7!}{6!}\times 1[/tex]
مشکل دوم جواب شما اینجا بود. این تساوی برقرار نیست.
[tex]\binom{7}{3} \ast \binom{3}{1} \binom{7}{2} \ast \binom{3}{2} \binom{7}{1} \ast \binom{3}{3}[/tex]
[tex]=\frac{7!}{4!3!}\times\frac{3!}{2!} \frac{7!}{5!2!}\times\frac{3!}{2!} \frac{7!}{6!}=175[/tex]
و ۴۲۰۰=!۴×۱۷۵ که همون جواب مدنظرتونه.
(۲۹ تیر ۱۳۹۲ ۰۱:۵۷ ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: سلام. اول باید بگم این سه حالت رو برای انتخاب ۴ نفر برای این ۴ سمت داریم. بعد باید در !۴ ضرب کنیم. چون با جابجایی سمت های این افراد جواب های متفاوت و قابل قبول داریم.
(۲۸ تیر ۱۳۹۲ ۰۱:۳۵ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: [tex]\binom{7}{3} \ast \binom{3}{1} \binom{7}{2} \ast \binom{3}{2} \binom{7}{1} \ast \binom{3}{3}[/tex]
[tex]= \frac{7!}{4!}\times 3 \frac{7!}{5!}\times \frac{3!}{1!} \frac{7!}{6!}\times 1[/tex]
مشکل دوم جواب شما اینجا بود. این تساوی برقرار نیست.
[tex]\binom{7}{3} \ast \binom{3}{1} \binom{7}{2} \ast \binom{3}{2} \binom{7}{1} \ast \binom{3}{3}[/tex]
[tex]=\frac{7!}{4!3!}\times\frac{3!}{2!} \frac{7!}{5!2!}\times\frac{3!}{2!} \frac{7!}{6!}=175[/tex]
و ۴۲۰۰=!۴×۱۷۵ که همون جواب مدنظرتونه.
ممنون از توجهتون، چندتا سوال پیش اومد برام:
۱/ توی این مثال جایگاهها مهمه (باهم فرق می‌کنه)، پس جایگشت (Permutation) محسوب میشه به عبارتی همون p(n,r) نه ترکیب (Combination) => تساوی میشه اونی تساوی که من نوشتم Permutation و اون تساوی که شما نوشتید Combination مراجعه کنید به فصل دوم کتاب پوران یا گسسته گریمالدی ترجمه فاطمی، جلد اول.
۲/ اگه بخوام به روش Combination حساب کنم، اونوقت جواب تساوی زیر درست نمیشه:
[tex]\binom{10}{4} - \binom{7}{4} = \frac{10!}{6!4!} - \frac{7!}{3!4!}= 210 - 35 = 175[/tex]
اگه جایگاهها متفاوت نبود و ما فقط می‌خواستیم چهار نفر انتخاب کنیم که همه عضو هیئت رئیسه بشن، آره می‌شد از Combination استفاده کرد، اما الان من شک دارم، مگر اینکه این بخش سوال رو باید از Combination محاسبه کنی، اما چرا؟
سلام
یه سوال و اون این که قراره از ۱۰ نفر هیات مدیره که ۳ نفرشون پزشک هستن ، هیات رئیسه انتخاب بشه ؟؟
یا نه ،هیات مدیره = هیات رئیسه هست؟؟؟
(۲۹ تیر ۱۳۹۲ ۰۸:۱۵ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: ...
اگه جایگاهها متفاوت نبود و ما فقط می‌خواستیم چهار نفر انتخاب کنیم که همه عضو هیئت رئیسه بشن، آره می‌شد از Combination استفاده کرد، اما الان من شک دارم، مگر اینکه این بخش سوال رو باید از Combination محاسبه کنی، اما چرا؟
منظورتون رو متوجه نمیشم. به ۱۷۵ حالت میشه این ۴ نفر رو انتخاب کرد و به ۴۲۰۰ حالت میشه بهشون سِمَت داد.
(۲۸ تیر ۱۳۹۲ ۰۲:۱۹ ب.ظ)azad_ahmadi نوشته شده توسط: میشه نحوه حل سوال ر با این روش بنویسید. ممنون.کل انتخاب‌ها - انتخاب‌هایی که هیچ پزشکی ندارند:
۱- به روش جایگشت:
[tex]P(10,4) - p(7,4) = \frac{10!}{6!} - \frac{7!}{3!} = (10 \times 9 \times 8 \times 7) - (7 \times 6\times 5 \times 4) = 5040 - 840 = 4200[/tex]
۲- ما چهارتا جایگاه متفاوت متفاوت (چهارتا خط - - - -) داریم و ۳تا پزشک که قرار نیست تو هیچ انتخابی باشن پس، ۷×۶×۵×۴ حالت برای انتخاب‌های غیرتکراری و به ترتیب داریم که میشه ۸۴۰، انتخاب ۴ نفر از بین ۱۰ نفر به همین روش هم میشه ۱۰×۹×۸×۷ که برابره با ۵۰۴۰، حالا خالت‌هایی رو می‌خواییم که حداقل یک پزشک در یکی از سمت ها باشه => کل انتخاب‌ها - انتخاب‌هایی که هیچ پزشکی ندارند => ۵۰۴۰-۸۴۰=۴۲۰۰
(۲۹ تیر ۱۳۹۲ ۰۸:۴۲ ق.ظ)r.jafari نوشته شده توسط: سلام
یه سوال و اون این که قراره از ۱۰ نفر هیات مدیره که ۳ نفرشون پزشک هستن ، هیات رئیسه انتخاب بشه ؟؟
یا نه ،هیات مدیره = هیات رئیسه هست؟؟؟
نه متفاوته ۱۰ تا هیئت مدیره داریم که ۳ تاش پزشکه، قراره چهارتاشون رو به عنوان هیئت مدیره انتخاب کنند.
و هرکسی در یک جایگاه قرار می‌گیرد در هیئت مدیره 
(۲۹ تیر ۱۳۹۲ ۰۹:۰۴ ق.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:(29 تیر ۱۳۹۲ ۰۸:۱۵ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: ...منظورتون رو متوجه نمیشم. به ۱۷۵ حالت میشه این ۴ نفر رو انتخاب کرد و به ۴۲۰۰ حالت میشه بهشون سِمَت داد.
اگه جایگاهها متفاوت نبود و ما فقط می‌خواستیم چهار نفر انتخاب کنیم که همه عضو هیئت رئیسه بشن، آره می‌شد از Combination استفاده کرد، اما الان من شک دارم، مگر اینکه این بخش سوال رو باید از Combination محاسبه کنی، اما چرا؟
اول اینکه حق با شما بود من یک اشتباه نوشتاری کردم، منظور من از [tex] \binom{n}{r}[/tex] همون [tex]P(n,r)[/tex] شزمنده البته هنوز مشکلم سرجاشه، اما اصلاح کردم پستو، دوباره ببینید متوجه مشکل می‌شید
نه منظورم اینه که اگه از فرمولی که شما گفتید برم جواب روش «کل انتخاب‌ها - انتخاب‌هایی که هیچ پزشکی ندارند» میشه ۱۷۵ که درست نیست، باید بشه ۴۲۰۰
فرمولی که شما استفاده می‌کنید:
[tex]C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!\times r!}[/tex]
فرمولی که من استفاده کردم:
[tex]P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}[/tex]
طبق چیزی که من فهمیدم وقتی جایگاه، مقام، پست به عبارتی ترتیب نداشته باشیم می‌تونیم از [tex]C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!\times r!}[/tex] استفاده کنیم. درسته؟
(۲۹ تیر ۱۳۹۲ ۰۳:۴۳ ب.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: طبق چیزی که من فهمیدم وقتی جایگاه، مقام، پست به عبارتی ترتیب نداشته باشیم می‌تونیم از [tex]C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!\times r!}[/tex] استفاده کنیم. درسته؟
درسته.
(۲۹ تیر ۱۳۹۲ ۰۴:۵۲ ب.ظ)Jooybari نوشته شده توسط:اول ممنون از وقتی که میزاری(29 تیر ۱۳۹۲ ۰۳:۴۳ ب.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: طبق چیزی که من فهمیدم وقتی جایگاه، مقام، پست به عبارتی ترتیب نداشته باشیم می‌تونیم از [tex]C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)!\times r!}[/tex] استفاده کنیم. درسته؟درسته.
ما اینجا چهارتا جایگاه متفاوت «یک رئیس، یک معاون یک منشی و یک خزانه‌دار» داریم، و من باید از فرمول [tex]P(n,r) [/tex] استفاده کنم، حالا آیا فرمول [tex]P(7,3)×P(3,1) P(7,2)×P(3,2) P(7,1)×P(3,3)[/tex] برای محاسبه جواب این مسئله درسته؟ پس چرا جوابش درست در نمیاد مگر اینکه در !۴ ضرب بشه؟
منظور از !۴ اینه که هر پزشک می‌تونی به !۴ حالت توی این جایگاهها قرار بگیره؟ خوب اگه آره وقتی ۲ تا پزشک داریم اولی به !۴ تو یک جایگاه قرار می‌گیره اما برای پزشک دوم فقط ۳ جایگاه می‌مونه
اینطور نمیشه از P (جایگشت) استفاده کنی. مثل اینکه مسئله هنوز برات خوب جا نیافتاده.
راه حل اول:
۱/ انتخاب یه تیم ۴ نفره از مجموعه ۱۰ نفره که حداقل یک پزشک داشته باشن.
۲/ حالت ها مختلف سمت دهی به اعضای تیم.
درمورد این را حل بحث کردیم. حالا قصد داریم بجای انتخاب از جایگشت استفاده کنیم.
راه حل دوم:
۱/ انتخاب سمت های پزشکان و غیر پزشکان.
۲/ جایگشت دادن پزشکان و غیر پزشکان در سمتشون.
فرمولتون برای جایگشت دادن پزشکان و درسته:
(۳۰ تیر ۱۳۹۲ ۰۷:۲۵ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: [tex]P(7,3)×P(3,1) P(7,2)×P(3,2) P(7,1)×P(3,3)[/tex]ولی هرکدوم از این سه مقدار به یک ضریب نیاز دارن.
[tex]P(7,3)×P(3,1)[/tex] مشخص کننده قرار گرفتن یک پزشک در تیمه. پس باید یک جایگاه براش مشخص کنیم. پس در انتخاب ۱ از ۴ ضرب میشه.
[tex]P(7,2)×P(3,2)[/tex] مشخص کننده قرار گرفتن دو پزشک در تیمه. پس باید دو جایگاه براش مشخص کنیم. پس در انتخاب ۲ از ۴ ضرب میشه.
[tex]P(7,1)×P(3,3)[/tex] مشخص کننده قرار گرفتن سه پزشک در تیمه. پس باید سه جایگاه براش مشخص کنیم. پس در انتخاب ۳ از ۴ ضرب میشه.
پس جواب مسئله برابر [tex]\binom{4}{1}×P(7,3)×P(3,1) \binom{4}{2}×P(7,2)×P(3,2) \binom{4}{3}×P(7,1)×P(3,3)=4200[/tex] میشه.
(۳۰ تیر ۱۳۹۲ ۰۵:۱۹ ب.ظ)Jooybari نوشته شده توسط: اینطور نمیشه از P (جایگشت) استفاده کنی. مثل اینکه مسئله هنوز برات خوب جا نیافتاده.
راه حل اول:
۱/ انتخاب یه تیم ۴ نفره از مجموعه ۱۰ نفره که حداقل یک پزشک داشته باشن.
۲/ حالت ها مختلف سمت دهی به اعضای تیم.
درمورد این را حل بحث کردیم. حالا قصد داریم بجای انتخاب از جایگشت استفاده کنیم.
راه حل دوم:
۱/ انتخاب سمت های پزشکان و غیر پزشکان.
۲/ جایگشت دادن پزشکان و غیر پزشکان در سمتشون.
فرمولتون برای جایگشت دادن پزشکان و درسته:
(۳۰ تیر ۱۳۹۲ ۰۷:۲۵ ق.ظ)arian_61 نوشته شده توسط: [tex]P(7,3)×P(3,1) P(7,2)×P(3,2) P(7,1)×P(3,3)[/tex]ولی هرکدوم از این سه مقدار به یک ضریب نیاز دارن.
[tex]P(7,3)×P(3,1)[/tex] مشخص کننده قرار گرفتن یک پزشک در تیمه. پس باید یک جایگاه براش مشخص کنیم. پس در انتخاب ۱ از ۴ ضرب میشه.
[tex]P(7,2)×P(3,2)[/tex] مشخص کننده قرار گرفتن دو پزشک در تیمه. پس باید دو جایگاه براش مشخص کنیم. پس در انتخاب ۲ از ۴ ضرب میشه.
[tex]P(7,1)×P(3,3)[/tex] مشخص کننده قرار گرفتن سه پزشک در تیمه. پس باید سه جایگاه براش مشخص کنیم. پس در انتخاب ۳ از ۴ ضرب میشه.
پس جواب مسئله برابر [tex]\binom{4}{1}×P(7,3)×P(3,1) \binom{4}{2}×P(7,2)×P(3,2) \binom{4}{3}×P(7,1)×P(3,3)=4200[/tex] میشه.
دستت درست، ای ول