سوال در مورد دامنه و برد تابع (لطفا سریع پاسخ بدین) - نسخه‌ی قابل چاپ

سوال در مورد دامنه و برد تابع (لطفا سریع پاسخ بدین) - vahidir - 31 اردیبهشت ۱۳۹۲ ۰۶:۵۷ ب.ظ سلام دوستانی که این سوال ها رو بلدن اگه امکان داره این سوال ها رو برام حل کنن دامنه و برد تابع زیر را بدست آورید

سوال در مورد دامنه و برد تابع (لطفا سریع پاسخ بدین) - بنده ی خدا - ۲۰ مرداد ۱۳۹۳ ۱۱:۵۶ ق.ظ سلام همان طوری که می‌دانید تابع به صورت $f:A \longrightarrow B$ است و A را دامنه تابع و B را برد تابع می‌گوییم. در هر یک از قسمت‌های فوق کافی است بررسی کنید که از چه جایی به چه جایی می‌رویم. برای قسمت اول، اگر من درست فهمیده باشم باید تابع شما این‌شکلی باشد $f(x,y,z)= \frac{1}{x^2+y^2+z^2+3}$ وقتی که به شکل و شمایل تابع نگاه می‌اندازید می‌بینید که اولا از سه متغیر تشکیل شده و ثانیا یک فرم کسری است. از اینکه سه متغیره هست در‌می‌یابید که باید بعد دامنه سه باشد، یعنی اینکه سه تا بعد در هم ضرب شده باشد. به عبارت دیگر اگر تابع ما روی اعداد حقیقی مطرح شده باشد دامنه‌ی ما به صورت R x R x R باشد. اگر در اعداد مختلط باشیم به جای هر R باید بگذاریم C و اگر اعداد طبیعی بود باید بگذاریم N این دیگر بستگی دارد که تابع در کجا تعریف شده باشد. توجه کنید که تا اینجا کار تعیین دامنه تمام نشده! باید مخرج کسر نیز بررسی شود تا آنجاهایی که مخرج کسر صفر است را از دامنه بیرون بکشیم (همان طوری که می دانید تقسیم بر صفر نباید داشته باشیم!) خب این قسمتش خوب است چرا که وقتی مخرج را نگاه می‌کنیم می‌بینیم که در مخرج یک عدد مثبت (عدد۳) با مقادیری مثبت دارند جمع می‌شوند (همان توان دوم های x,y و z) پس مخرج کسر اصلا صفر نمی‌شود و خیالمان از اینکه دامنه تعیین شده همه چیز تمام است، راحت می‌شود. و اما برد؛ خب من الان نمی‌‌دونم توی کتابی که شما ازش می‌خونی منظور از برد چیه، چون به یه مفهوم برد رو جایی که تابع می‌تواند برود می‌گیم و به یه مفهوم دیگه اون‌جاهایی که تابع دقیقا می‌ره! و در مبانی ریاضیات (لین اند لین) مفهوم دوم نگاره یا image تابع گفته می‌شه. اگر گیج شدید، بذارید این‌طور توضیح بدم که مفهوم اول یک سری چیزهایی اضافه دارد که تابع به آنجاها نمی‌رود و مثلا برای همین مثال با مفهوم اول بردش می‌تونه مساوی دامنه‌اش باشه. هیچ اشکالی هم تابع ما به هم نمی‌زنه اما در مفهوم دوم یعنی نگاره تابع دقیقا باید ببینیم تابع ما داره کجا می‌ره. (من فرض می‌کنم که دامنه تابع ما روی اعداد حقیقی بوده) خب از شکل و قیافه‌ی تابع (می‌گن از شکل و قیافه‌ی آدم‌ها نباید دربارشون قضاوت کرد، اما برای توابع این طوری نیست! از سر و شکل قیافه‌ی توابع ما راجع بهشون قضاوت می‌کنیم) می‌بینیم که کسریه (قبلا هم دیده بودیم خب که چی؟) خب بیشتر می‌بینیم، متوجه می‌شیم که صورت کسرش یکه، قبلا هم فهمیده بودیم که مخرج همیشه مثبته و این دو داده رو وقتی توی مغزمون پردازش کنیم می‌فهمیم که این تابع نهایت زورش اینه که عدد یک تولید کنه، اما واقعا همینه؟ نخیر این تابع که هیچ وقت نمی‌تونه مساوی یک بشه؛ چرا؟ چون اگر بخواد یک بشه باید مخرجش یک باشه ولی مخرج جمع یه مقدار مثبت هست با عدد سه و این یعنی که مخرج می‌تونه هر چی دلش بخواد بزرگ بشه ولی کوچکترین حالت ممکنش اینه که ۳ باشه(xوyوz هر سه مقدار صفر بگیرن) , حالا همه‌ی این اطلاعات رو تحلیل کنیم یه بار صورت کسر یک هست. مخرج تا دلش می‌خواد بزرگ می‌تونه بشه، همیشه مثبته و کوچکترین حالت ممکنش ۳ هست. کمی فکر می‌کنیم به این نتیجه می‌رسیم که برد تابع این‌شکلیه $ (۰, \frac{1}{3} ] $ یعنی هیچ وقت به صفر نمی‌رسیم و همیشه یک عدد بین صفر و یک سوم تولید می‌کنیم. توجه توجه توجه! برد تابع از بعد یک است! یعنی یک سه تایی (x,y,z) می‌دیم به تابع یک عدد خالی می‌گیریم!! دیگه سه تایی نداریم! بعد برد یکه! برای قسمت دوم. چون که z مساوی یک چیزی است؛ اینجا z نقش همان f را بازی می‌کند و از نگاه کردن به اون‌ور تساوی متوجه می‌شویم که تابع ما دو متغیره است! پس بعد دامنه دو است و حالا باید برویم سر وقت مخرج ببینیم کجاها صفر می‌شود. آنچه باید بکنیم به قرار زیر است: $x+5y=0$ $x=-5y$ الان از این چی می‌فهمیم؟ می‌فهمیم اون‌جاهایی که x پنج برابر y هست مخرج صفر میشه و ما این رو دوست نداریم پس از دامنه باید کمش کنیم! چه جوری ؟ این جوری: {R x R - { (-5a,a) , a $\in$ R الان در فوق اون زوج مرتب هایی که موجب می‌شدن مخرج کسر تابع ما صفر بشه از تابع انداختیمش بیرون! با چیزایی که در بالا توضیح دادم و خودم دارم از سر و شکل و قیافه تابع می‌بینم، برد این تابع یک بعدی به صورت یک عدد و خب هر عددی می‌تواند باشد (اگر گفتید چرا؟) یعنی با فرض اینکه تابع روی اعداد حقیقی تعریف شده برد تابع میشه کل اعداد حقیقی خب، حقیقتش من از تایپ کردن این همه خسته شدم. دیگه قسمت سومش با خودتون؛ خیلی نگران بودید که ممکنه اشتباه حساب کرده باشید. اینجا چیزی که حساب کردید رو بذارید یا من یا دوستان دیگر کمک می‌کن ببینن درست هست با خیر پیروز و موفق باشید.