سلام
میشه بگین جواب این انتگرال [tex]\int_{-i}^{i}lnz[/tex] چطوری [tex]\Pi i[/tex] میشه؟
کافیست Lnz را بر اساس فرمولش بنویسید.
[tex]Ln z=Ln r i\Theta[/tex]
[tex]z=re^{i\Theta }\Rightarrow dz=e^{i\Theta }dr ir\ e^{i\Theta }d\Theta[/tex]
حالا انتگرال به انتگرال بر حسب [tex]dr[/tex]و [tex]d\Theta[/tex]تبدیل میشه. ضرب مختلط را انجام بدید و توجه کنید که چون iوi- هر دو شون مقدار rبراشون یک هست تمام انتگرالهای dr صفر میشه. حساب کنید به جواب میرسید.
(۰۴ آذر ۱۳۹۱ ۰۱:۴۷ ق.ظ)Fardad-A نوشته شده توسط: [tex]z=re^{i\Theta }\Rightarrow dz=e^{i\Theta }dr ir\Theta e^{i\Theta }d\Theta[/tex]تو مشتق گرفتن نسبت به تتا یه تتا اضافه گذاشتین یا من اشتباه میکنم؟
اینطوری نباید باشه؟
[tex]ir e^{i\Theta }d\Theta[/tex]
یه سوال اینکه lnz در نقاط i و i- تحلیلی نیست درسته؟
میتونین جوابو کامل بنویسین. چون من مسئله رو حل کردم ولی جواب متفاوت بود.
بله حق با شماست یه تتا اضافی نوشتم و تصحیح کردم.
Lnzدر i و i-تحلیلی است ولی در مبداء تحلیلی نیست. در واقع مبدا" نقطه تکین اون هست.
بنابراین مسیری که از i- به i رسم میکنیم حول مبدا یه نیمداریره بشعاع اپسیلون براش در نظر میگیریم. مسئله از دو راه حل میشه یکی همان که بالا گفتم. یه راه هم اینه که یه پاره خط(البته با اون نیمدایره اپسیلونی) از حد پایین تا بالای انتگرال را با یک نیمدایره که از iبه i-رسم میشه و شعاعش واحد هست بصورت یه مسیر بسته بگیریم. چون تابع lnz در داخل این مسیر بسته تحلیلی است انتگرالش روی کل مسیر صفر هست. پس انتگرال روی پاره خط با انتگرال روی محیط نیمدایره برابره. حالا روی نیمدایره انتگرال را حساب کنیم.
در هر دو حالت بالا باید به یه انتگرال بخورید که باید جزء به جزء حلش کنید (البته اگه مثل من حفظ نباشید) . بنظرم جواب ایشان درست نباشه . من چون یه کم با این فرمول نویش مشکل دارم روی کاغذ مینویسم و تا دوشنبه اسکنش میکنم. اگه بازم اشکالی داشت بگید.
یه سوال.
تتا وقتی بین پی و منفی پی هست تابع lnz بر روی محور حقیقی منفی پیوسته نیست و تحلیلی نیست و خط شاخه ای lnz محسوب می شه.
اما اینجا با توجه به محدوده انتگرال تتا بین پی دوم و منفی پی دوم هست.
تو مدرسان گفته اگه این خط بصورت [tex]\alpha <\theta <\alpha 2\pi[/tex] می تونه انتقال داده بشه ، آنگاه محور [tex]\theta =\alpha[/tex] خط شاخه ای تابع هست.
مثلا در تعریف lnz در محدوده [tex]-\pi <\theta <\pi[/tex] به ازای [tex]\alpha=-\pi[/tex] رابطه برقرار بود و به همین جهت [tex]\alpha=-\pi[/tex] خط شاخه ای lnz در محدوده پی و منفی پی بود.
حالا سوال اینه که چون خط شاخه ای با تغییر محدوده تتا تغییر می کنه خط شاخه ای جدید که تابع درش پیوسته نیست کجاست؟