به نام خدا
سلام.
سوال ۵۷، رو سازمان سنجش اشتباه کلید داده.
جواب صحیح این سوال گزینه ۳ هستش.
به پیوست شکل مربوطه و نحوه حل قابل مشاهده است.
با توجه به شکل مساحت قسمت هاشورخورده برابر است با مساحت مربع به ضلع (۲r) که از داخل آن ۴ ربع دایره (یک دایره کامل) به شعاع r کم می شود.
در نهایت مساحت قسمت هاشور خورده بر حسب r برابر است با
[tex](r r)\cdot(r r)\: -\: 4\: \ast(\pi\ast r\ast\frac{r}{4})\: =\: 4r^2-\pi r^2=r^2(4-\pi)[/tex]
حالا برای به دست آوردن مقدار r هم کافیه از رابطه زیر استفاده کنیم
شعاع دایره بزرگ = ۱۰
شعاع دایره بزرگ (طبق شکل) =[tex]r r\sqrt{2}\: =\: 10[/tex]
[tex]r\: =\frac{\: 10}{(\sqrt{2} 1)}\: =\frac{\: 10}{(\sqrt{2} 1)}\ast\frac{(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)}\: =\: 10(\sqrt{2}-1)[/tex]
در نهایت هم نتیجه برابراست با
[tex]\frac{(10(\sqrt{2}-1)\ast10(\sqrt{2}-1)\ast(4-\pi))}{10\ast10\ast\pi}=\frac{((4-\pi)\ast(3-2\sqrt{2}))}{\pi}[/tex]