اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط - نسخهی قابل چاپ |
اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط - ka1366 - 27 مهر ۱۳۹۲ ۰۱:۲۰ ب.ظ
سلام دوستان من دنبال حل این دو تا مسئله هستم. ممنون میشم کمکم کنید. ۱- نشان دهید توابع Re (z) ، Im (z و قدر مطلق z در هیچ نقطه ای مشتق پذیر نیستند. ۲- نشان دهید f(z) = |z| ^2 تنها در نقطه z = 0 + 0i مشتق پذیر است. |
RE: اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط - SnowBlind - 27 مهر ۱۳۹۲ ۰۳:۲۷ ب.ظ
(۲۷ مهر ۱۳۹۲ ۰۱:۲۰ ب.ظ)ka1366 نوشته شده توسط: سلام دوستان من دنبال حل این دو تا مسئله هستم. شرط اینکه یه تابع مشتق پذیر باشه اینه که مشتقات جزئی u و v پیوسته باشن و همچنین در شرایط کوشی ریمان صدق کنن، شما کافیه اینا رو چک کنین. |
RE: اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط - nazanin_sh - 28 مهر ۱۳۹۲ ۰۷:۴۴ ب.ظ
برای سوال اولتون علاوه بر چیزی که snowBlind گفتن ، از تعریف مستقیم مشتق هم میتونید استفاده کنید : [tex]lim_{z \to z_0} \frac{f(z)- f(z_{0})}{z - z_{0}}[/tex] و با استفاده از این خاصیت حد که " باید از همه ی جهات دارای حد باشه و با هم برابر باشن" وجود حد رو نقض کنید. اینجوری اثبات میشه که مشتق پذیر نیست. برای سوال دوم هم باز از همین روش استفاده کنید و در نهایت میبینید که فقط زمانی که z=0 باشه این حد وجود داره . |
RE: اثبات مشتق و پیوستگی در اعداد مختلط - Fardad-A - 28 مهر ۱۳۹۲ ۱۰:۲۶ ب.ظ
اول اینکه در هر تاپیک یه سوال بپرسید. اما بعد: لطفا" شرایط کشی ریمان را در هر دو فرم کارتزین و قطبی حفظ کنید. هرگاه خواستید اثبات عدم وجود مشتق را بکنید کافیست بسادگی مشتق بگیرید و عدم امکان شرایط کشی ریمان را ببینید. [tex]z=x iy, w=u iv ,w=Imz\Rightarrow w=y\Rightarrow u=0,v=y\Rightarrow u_{x}=0,v_{y}=1[/tex] پس امکان تساوی صفر با یک وجود نداره پس مشتق نداره. Rez هم خودتون حل کنید. و سومیش: [tex]z=re^{i\theta } , w=u iv ,w=\left |z \right |\Rightarrow w=r\Rightarrow u_{r}=1,v_{\theta }=0[/tex] وباز امکان تساوی صفر و یک نیست. اینکه تشخیص بدین کجا باید فرم قطبی و کجا کارتزین استفاده کنید به مهارت شما بستگی داره. اما سوال دوم: [tex]z=re^{i\theta }\Rightarrow f(z)=r^{2}\Rightarrow u=r^{2},v=0[/tex] وجود مشتق علاوه بر اینکه شرایط کشی ریمان را لازم داره باین هم نیاز داره که مشتقات جزئی پیوسته باشند. حالا اگه uوv را نگاه کنید هر دو پیوسته هستند . پس فقط شرایط کشی ریمان باید برقرار باشه . [tex]u_{r}=2r,v_{\theta }=0[/tex] شرایط کشی ریمان قطبی میگه: [tex]u_{r}=\frac{1}{r}v_{\theta },v_{r}=-\frac{1}{r}u_{\theta }[/tex] و داریم: [tex]u_{r}=2r,v_{r}=0,u_{\theta }=0,v_{\theta }=0\Rightarrow r=0[/tex] و این یعنی اینکه فقط در مبدا برقراره و بنابراین فقط در مبدا مشتقپذیره. |